Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

+ Hai vecto a→ và b→ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+ Để chứng minh hai vecto cùng phương ta có thể làm theo hai cách sau:

    - Chứng minh giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

    - Chứng minh tồn tại số thực k ≠ 0: a→ = k.b→

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→ thì ABCD là hình thang.

B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ .

C. Nếu ABCD là hình thang thì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→.

D. Nếu SA→ + SB→ + SC→ + SD→ = 4SO→ thì ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Chọn C

A. Đúng vì SA→ + SB→ + 2SC→ + 2SD→ = 6SO→

⇔ OA→ + OB→ + 2OC→ + 2OD→ = O→

Vì O; A; C và O; B; D thẳng hàng nên đặt

B. Đúng.

Ta có:

C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD; BC thì sẽ sai.

D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = -1; m = - 1

⇒ O là trung điểm 2 đường chéo.

Ví dụ 2: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = 2a→ - 3b→ và v→ = 3a→ - 9b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại số thực k sao cho u→ = k.v→

Do hai vecto a→ và b→ không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:

⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.

⇒ Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương.

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chọn mệnh đề đúng?

A. Hai vecto MN→ và DD'→ là cùng phương

B. Hai vecto AM→ và B'C→ là cùng phương

C. Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương

D. Hai vecto DN→ và MA'→ là cùng phương

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác AMCN có:

AM = CN = (1/2)BC = (1/2)AD

AM // CN

⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành

⇒ AN // MC nên Hai vecto AN→ và MC→ là cùng phương.

Chọn C

Ví dụ 4: : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?

A. B'B→                        B. C'C→                        C. AA'→                        D. AB'→

Hướng dẫn giải

Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’

⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’

⇒ IJ // AA’ // CC’

⇒ AA'→ cùng hướng với vecto IJ→

chọn C

Ví dụ 5: Cho u→ = 2a→ + b→ và v→ = -6a→ - 3b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

Hướng dẫn giải

Ta có: v→ = -6a→ - 3b→ = -3(2a→ + b→)

⇒ v→ = -3u→

⇒ u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng.

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho ba vectơ a→, b→, c→ không đồng phẳng. Xét các vectơ x→ = 2a→ - b→, y→ = -4a→ + 2b→, z→ = -3b→ - 2c→. Chọn khẳng định đúng?

A. Hai vectơ y→, z→ cùng phương

B. Hai vectơ x→, y→ cùng phương

C. Hai vectơ x→, z→ cùng phương

D. Ba vectơ x→, y→, z→ đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Nhận thấy: y→ = -2x→ nên hai vectơ x→, y→ cùng phương.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ→?

A. GG'→                        B. GA'→                        C. AG'→                        D. AB'→

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, SB, AB và AC. Tìm mệnh đề đúng?

A. Hai vecto NM→ và BC→ cùng phương và ngược hướng

B. Hai vecto PQ→ và BC→ cùng phương và ngược hướng

C. Hai vecto PQ→ và NM→ cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto QP→ và NM→ cùng phương và ngược hướng .

Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M; N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số MN/BD' bằng?

A. (1/3)                   B. (1/2)                    C. 1                    D. (2/3)

Câu 4: Cho hai vecto a→ và b→ không cùng phương; u→ = a→ - 2b→ và v→ = 3a→ - 5b→. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương

B. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto u→ và v→ là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto u→ và v→ là không cùng phương

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OA→ + OB→

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OB→ = kBA→

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = kOA→ + (1-k)OB→

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM→ = OB→ = k(OB→ - OA→)