Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản

A. Phương pháp giải

Để đưa một phương trình về phương trình lượng giác cơ bản; ta cần sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng. .. để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình cos(x+ 30⁰) - √3/2.cosx= 1/2

A. x = π/2+k2π

B. x = 3π/2+kπ

C. x = π/2+kπ

D. x = kπ

Lời giải

Ta có: cos(x+30⁰) - √3/2.cosx= 1/2

⇔ cosx. cos30⁰- sinx. sin30⁰- √3/2.cosx= 1/2

⇔ cosx. √3/2-sinx. 1/2 - √3/2.cosx= 1/2

⇔ -sin⁡x.1/2= 1/2

⇔ sinx=- 1

⇔ x = 3π/2+k2π

Chọn C.

Ví dụ 2. Giải phương trình 

A. x= (- π)/6+k.π

B. x= (- π)/12+k.π

C. x= ( π)/12+k.π

D. Đáp án khác

Lời giải

⇔ tan (x+π/4 )= tan π/6

⇔ x + π/4= π/6+ kπ

⇔ x= (- π)/12+k.π

Chọn B.

Ví dụ 3. Giải phương trình : cos(x+ 30⁰).cos( x- 30⁰) = 1/2

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: cos(x+ 30⁰) + cos(x-30⁰) = 1/2

⇔ 1/2 [ cos 2x +cos60⁰) = 1/2

⇔ cos2x+ cos 60⁰= 1

⇔ cos2x + 1/2=1

⇔ cos2x= 1/(2 ) =cos60⁰

Chọn D.

Ví dụ 4. Giải phương trình sin²x - cos²x = sinx

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có; sin²x- cos²x= sin x

- cos 2x= cos(90⁰- x)

cos( 180⁰- 2x) = cos( 90⁰ - x)

Chọn C.

Ví dụ 5. Giải phương trình:cos² ( x- 30⁰) - sin² ( x- 30⁰) = sin(x+ 30⁰)

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 6. Giải phương trình cos( 60⁰+ x) + cos( 60⁰-x)= 1.

A. x = 30⁰+ k.180⁰

B.x= 60⁰ + k. 180⁰

C .x =90⁰ +k . 360⁰

D. x= k. 360⁰

Lời giải

Chọn D.

Ta có : cos( 60⁰+ x) + cos( 60⁰-x) = 1

⇒ 2cos 60⁰. cosx= 1

⇒ cosx = 1

⇒ x= k. 360⁰

Ví dụ 7. Giải phương trình :sin²x= 1/2

A. x= π+k2π

B. x= π/4+k π/2

C. x= π/2+kπ

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : sin² x= 1/2 ⇒ (1-cos2x)/2= 1/2

⇒ cos2x= 0 ⇒ 2x= π/2+kπ

⇒ x= π/4+k π/2

Chọn B.

Ví dụ 8. Giải phương trình : sin² x- sin² x.cos² x= 1

A. x= π/4+kπ

B. x= π/2+kπ

C. x= π/2+k2π

D. x=kπ

Lời giải

Ta có : sin² x – sin² x. cos² x= 1

⇔ sin² x( 1- cos² x) = 1

⇔ sin² x. sin²x= 1 ⇔ sin⁴ x= 1

⇔ sin² x= 1 ⇔ cosx=0

⇔ x= π/2+kπ

Chon C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình: 2sin²x+ 4cos²x= 3?

A. x= π/4+ kπ

B. x= π/4+ kπ/2

C. x= π/2+kπ

D. x= π/4+ kπ/4

Câu 2:Giải phương trình:

A. x= π/4+kπ

B. x= π/4+k2π

C. x= π/2+kπ

D. x= -π/4+kπ

Câu 3:Giải phương trình: 4cos² x+ cos2x + 1= 0

A. x= π/2+k2π

B. x= π/4+kπ

C. x= π/2+kπ

D. Đáp án khác

Câu 4:Giải phương trình: 2.tanx . cosx + 2cosx= 0

A. x= π/2+kπ

B. x= -π/4+kπ

C. Cả A và B đúng

D. Tất cả sai

Câu 5:Đâu không phải là một họ nghiệm của phương trình: sin2x –sinx + 2cosx – cos²x – sin²x= 0 ?

A. x= π/3+k2π

B. x=- π/3+k2π

C. x= 3π/2+k2π

D. x= π/6+k2π

Câu 6:Giải phương trình tanx.tan3x= 1

A. x= π/2+kπ

B. x= π/4+kπ/2

C . x= π/3+kπ

D. x= π/4+kπ

Câu 7:Giải phương trình: (sinx+ cosx)² =2

A. x= π/3+kπ

B. x= π/4+kπ

C. x= π/4+k2π

D. x= π/8+kπ

Câu 8:Giải phương trình: sin⁴x- cos⁴x = 1

A. x= π/2+kπ

B. x= π/2+k2π

C. x= π/4+k2π

D. x= π/4+kπ

Câu 9:Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình:

A. x= π/3

B. x= π/8

C. x= π/6

D. Đáp án khác