Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích cực hay

A. Phương pháp giải

+ Để đưa một phương trình lượng giác về dạng tích ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức hạ bậc; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng...

+ Sau khi đưa được phương trình về dạng tích: A.B=0 

Giải từng phương trình A = 0; B= 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình : cot2x + 3tan 3x = 2tan2x

A. x= π/4+kπ

B. x=kπ

C.x= π/2+kπ

D. Vô nghiệm

Lời giải

Điều kiện:

Ta có; cot2x + 3tan3 x = 2tan2x

⇒ (cot2x + tan 3x) +(2tan3x- 2tan2x)= 0

⇒ cosx. cos2x + 2sinx. sin2x=0

⇒ ( cosx.cos2x + sinx.sin2x) + sinx. sin2x = 0

⇒ cosx+ sinx. 2sinx.cosx= 0

⇒ cosx. (1+ 2sin² x) = 0

⇒ cosx=0 ( vì 1+ 2sin2 x > 0 với mọi x)

⇒ x= π/2+kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D.

Ví dụ 2. Giải phương trình: 4cos⁵x.sinx – 4sin⁵ x.cosx = cos²2x

A . 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 4cos⁵x.sinx – 4sin⁵ x.cosx = cos²2x

⇒ 4cosx.sinx .( cos⁴ x- sin⁴ x) = cos² 2x

⇒ 4.cosx.sinx. ( cos² x –sin² x) .( cos² x+ sin² x) – cos² 2x = 0

⇒ 2sin2x. cos2x. 1 – cos² 2x= 0

⇒ cos2x ( 2sin2x – cos2x) = 0

Chọn B

Ví dụ 3. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos⁴x – cos2x+ 2sin⁶ x=0

A. x= π/2 B.x= π C. x= π/3 D.x= π/4

Lời giải

Ta có: cos⁴x – cos2x+ 2sin⁶ x=0

⇒ (1- sin² x)² – (1- 2sin² x) + 2sin⁶ x = 0

⇒ 1 – 2sin² x+ sin⁴ x – 1 +2sin²x + 2sin⁶ x=0

⇒ sin⁴ x + 2sin⁶ x= 0

⇒ sin⁴ x. ( 1+ 2sin² x) = 0

⇒ sin⁴ x= 0 ( vì 1+ 2sin² x > 0 với mọi x)

⇒ sinx=0 ⇒ x=kπ

⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π ( khi đó k = 1)

Chọn B

Ví dụ 4. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos2x + cos22x+ cos23x = 1

A. x= π/3 B. x= π/4 C. x= π/6 D. x= π/2

Lời giải

Ta có: cos2x+ cos22x+ cos23x= 1

⇒ 1+cos2x+ 1+ cos4x+ 1+ cos 6x= 2

⇒ ( cos 2x+ cos 6x)+ cos4x + 1 = 0

⇒ 2cos4x. cos2x + 2cos2 2x= 0

⇒ 2cos 2x. ( cos 4x+ cos2x)= 0

⇒ 2cos2x. 2.cos3x. cosx = 0

⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π/6

Chọn C.

Ví dụ 5. Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình :

A. x= 

B. x= 

C. x= 

D. x= 

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 6: Giải phương trình 1+ cosx + cos² x+ cos3x – sin² x=0

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Ta có: 1+ cosx + cos² x+ cos3x – sin² x=0

⇒ ( 1- sin² x)+ cos² x+ ( cosx+ cos3x )=0

⇒ cos² x+ cos² x + 2.cos 2x.cos x= 0

⇒ 2cos² x + 2cos2x.cosx=0

⇒ 2cosx . (cosx + cos2x) = 0

Chọn B

Ví dụ 7. Giải phương trình: 2+ sin2x – 2cos² x= 0

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Ta có: 2 + sin2x – 2cos² x = 0

⇒ sin 2x + ( 2-2cos² x) = 0

⇒ 2sinx.cosx + 2sin² x= 0

⇒ 2sinx ( cosx + sinx) = 0

Chọn A

Ví dụ 8: Giải phương trình:cos² 4x + sin²2x= 1

A.

B.

C. Cả A và B đúng

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos² 4x + sin² 2x= 1

⇒ cos²4x + sin² 2x- 1=0

⇒ cos² 4x- cos² 2 x=0

⇒ (cos 4x- cos2x).( cos4x+ cos2x) = 0

Chọn C.

Ví dụ 9: Phương trình 4cosx – 2cos 2x – cos4x= 1 có các nghiệm là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Ta có: 4cosx- 2cos2x – cos4x = 1

⇒ 4cosx – 2cos 2x – ( 2cos²2x – 1) – 1= 0

⇒ 4cosx – 2cos2x - 2cos² 2x =0

⇒ 4cos x- 2cos2x( 1+ cos2x) = 0

⇒ 4cosx- 2cos2x .2cos² x = 0

⇒ 4cosx. (1 – cos 2x. cosx) = 0

⇒ 4cosx. [ 1- ( 2cos² x-1) . cos x]= 0

⇒ 4cos x. [1- 2cos³ x + cosx] = 0

Chọn A .

Ví dụ 10: Phương trình cosx - 1+ 2sinx – sin2x= 0 có nghiệm là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Ta có: cosx- 1 + 2sinx – sin2x= 0

⇒ ( cosx- sin2x) + ( 2sinx- 1) = 0

⇒ (cosx – 2. sinx. cosx) + ( 2sinx- 1) = 0

⇒ cosx(1 - 2sinx) – ( 1 - 2sinx)= 0

⇒ ( cosx- 1) . ( 1-2sinx)= 0

Chọn C.

Ví dụ 11: Phương trình sin3x – 4sinx. cos2x = 0 có các nghiệm là:

A.x=k2π

B.x= π/2+kπ

C.x=kπ

D. x= π/2+k2π

Lời giải

Ta có: sin 3x- 4sinx. cos2x = 0

⇒ sin3x- 2[ sin3x + sin( -x)]=0

⇒ sin3x- 2sin3x + 2sinx=0 ( vì sin(-x)= - sinx)

⇒ 2sinx= -sin3x

⇒ 2sinx= 4sin³ x- 3sinx

⇒ 2sinx – 4sin³ x+ 3sinx= 0

⇒ 5sinx – 4sin³ x= 0

⇒ sinx ( 5- 4sin2 x) = 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=kπ

Chọn C.

Ví dụ 12. Giải phương trình: ( -sinx + cosx) ( 1+ sinx) = cos² x

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Ta có: (- sinx + cosx) . (1+ sinx)= cos²x

⇒ ( - sinx + cosx). ( 1+sinx)- cos² x = 0

⇒ ( -sinx + cosx). (1+ sinx) – (1- sin² x) = 0

⇒ ( - sinx + cosx). ( 1+sinx) – (1- sinx).( 1+ sinx) = 0

⇒ (1+ sinx).( - sinx + cosx – 1 + sinx) = 0

⇒ ( 1+ sinx).( cosx- 1) = 0

Chọn D.

Ví dụ 13: Giải phương trình: sin3x – 1= 2sinx.cos2x – cos2x

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sin3x- 1= 2sinx. cos2x- cos2x

⇒ sin 3x- 1= sin3x + sin( -x) – cos2 x

⇒ sin 3x- 1 = sin3x – sin x – cos 2x

⇒ (sin3x- sin3x) + (cos2x – 1) + sinx = 0

⇒ - 2sin²x + sin x = 0

⇒ sinx(- 2sinx + 1) = 0

Chọn B.

Ví dụ 14. Giải phương trình: sin²2x + sin² 4x= cos² 2x+ cos² 4x

A. 

B.

C. 

D. 

Lời giải

Ta có: sin²2x + sin² 4x= cos² 2x+ cos² 4x

⇒ ( sin² 2x – cos²2x ) + ( sin²4x – cos²4x) = 0

⇒ - cos4x – cos8x = 0

⇒ cos4x+ cos 8x = 0

⇒ 2.cos 6x.cos2x= 0

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Đâu không là một họ nghiệm của phương trình: sin2 x+ sin²2x + sin²3x=2 là.

A.

B.

C.

D.

Câu 2:Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình : 

A.

B.

C.

D.

Câu 3:Phương trình  có bao nhiêu họ nghiệm ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Câu 4:Phương trình: có nghiệm là:

A. 

B. 

C. 

D.Đáp án khác

Câu 5:Giải phương trình : sin²3x + cos²6x = sin² 5x +cos² 4x

A.

B.

C.

D.

Câu 6:Giải phương trình : 

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Câu 7:Giải phương trình: sin2x + cosx + 1+ 3sin² x – cos² x + 2sinx= 0

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Câu 8:Phương trình: 5sinx+ 5cosx + sin3x = cos3x + √3 (2+ sin2x) có bao nhiêu họ nghiệm?

A. 1

B. 2

C.3

D.4

Câu 9:Giải phương trình 

A. 

B. 

C. 

D. Cả A và B đều đúng

Câu 10:Giải phương trình: 1+ sinx+ cosx + tanx =0

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 11:Một họ nghiệm của phương trình 2sin2x – 2sinx = cot x – 1.

A. x= 

B. x= 

C. x= 

D .Tất cả sai

Câu 12:Giải phương trình sin³ x+ cos³x= 2sin⁵ x+ 2cos⁵x.

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 13:Giải phương trình: tanx + tan 2x = - sin3x. cos2x

A. x= kπ/6

B. x= kπ/4

C. x= kπ/3

D. Cả A và B đúng

Câu 14:Giải phương trình 

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 15:Phương trình 2√2.sin 5x. cos 3x = sin4x + 2√2 sin3x. cos 5x có nghiệm là:

A. x= kπ/2

B. x= kπ

C.

D.

Câu 16:Giải phương trình cosx – sinx = sin2x - 2cos² x :

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 17:Giải phương trình sin2x. ( cotx + tan2x) = 4cos² x

A .

B. 

C. 

D. 

Câu 18:Giải phương trình: cos³ x- sin³ x= 1- 2sin² x

A. 

B. 

C.

D.