Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay

A. Phương pháp giải

* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cực hay

Muốn chứng minh đương thẳng d ⊥ (α) ta có thể dùng môt trong hai cách sau.

Cách 1. Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong (α) .

Cách 2. Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với (α) .

Cách 3. Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

* Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

- Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

   + Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

   + Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

   + Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp ( ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. I là trung điểm AB

B. I là trọng tâm tam giác ABC

C. I là trung điểm AC

D. I là trung điểm BC

Hướng dẫn giải

Gọi SA = SB = SC = a

+ Ta có : tam giác SAC đều nên AC = SA = a

Tam giác SAB vuông cân tại S ⇒ AB = a√2

+ Gọi I là trung điểm của BC thì IA = IB = IC nên I là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Ta có : SA = SB = SC và IA = IB = IC

⇒ SI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

⇒ SI ⊥ (ABC)

Vậy nên I là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC)

Chọn D

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AB ⊥ (ABC)

B. AB ⊥ BD

C. AB ⊥ (ABD)

D. BC ⊥ AD

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi E là trung điểm của BC.

Tam giác DCB cân tại D có DE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao: DE ⊥ BC.

Tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao : AE ⊥ BC

Khi đó ta có 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S. ABC có cạnh SA ⊥ (ABC) và đáy ABC là tam giác cân ở C . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và SB . Khẳng định nào sau đây sai?

A. CH ⊥ SA                 B. CH ⊥ SB                 C. CH ⊥ AK                 D. AK ⊥ SB

Hướng dẫn giải

Chọn D

Do tam giác ABC cân tại C; có CH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao nên CH ⊥ AB.

Lại có: CH ⊥ SA (vì SA vuông góc với mp(ABC)) .

Suy ra CH ⊥ (SAB). Vậy các câu A, B, C đúng nên D sai.

Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD) . Biết H là trực tâm tam giac BCD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. CD ⊥ BD                 B. AC = BD                 C. AB = CD.                 D. AB ⊥ CD

Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là:

A. 1                   B. 2                   C. 3                   D. 4

Hướng dẫn giải

Có AB ⊥ BC ⇒ ΔABC là tam giác vuông tại B

Ta có SA ⊥ (ABC) ⇒  là các tam giác vuông tại A

Mặt khác  là tam giác vuông tại B

Vậy bốn mặt của tứ diện đều là tam giác vuông. Nên đáp án D đúng

Chọn D

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SO ⊥ (ABCD)

B. CD ⊥ (SBD)

C. AB ⊥ (SAC)

D. CD ⊥ AC

Hướng dẫn giải

Chọn B

Tam giác SAC cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ AC .

Tam giác SBD cân tại S có SO là trung tuyến nên SO cũng là đường cao ⇒ SO ⊥ BD .

Từ đó suy ra SO ⊥ (ABCD) .

Do ABCD là hình thoi nên CD không vuông góc với BD. Do đó CD không vuông góc với (SBD)

Ví dụ 7: Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông ở B , AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC

B. AH ⊥ BC

C. AH ⊥ AC

D. AH ⊥ SC

Hướng dẫn giải

Chọn C

Vậy câu C sai.

Ví dụ 8: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ví dụ 9: Cho tứ diện SABC thoả mãn SA= SB= SC. Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC) . Đối với tam giác ABC ta có điểm H là:

A. Trực tâm.

B. Tâm đường tròn nội tiếp.

C. Trọng tâm.

D. Tâm đường tròn ngoại tiếp.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 10: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mp(ABC) . Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau:

A. H là trực tâm tam giác ABC

B. H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

C. 

D. CH là đường cao của tam giác ABC .

Hướng dẫn giải

+ Ta có OA ⊥ (OBC) ⇒ OA ⊥ BC và OH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (OAH) ⇒ BC ⊥ AH. Tương tự, ta có AB ⊥ CH

Hai đường thẳng AH và CH cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC

suy ra đáp án A, D đúng

+ Gọi I là giao điểm của AH và BC .

Ta có ; OA ⊥ (OBC) nên OA ⊥ OI

Xét tam giác vuông OAI có đường cao OH Ta có

suy ra đáp án C đúng.

Chọn đáp án B

Ví dụ 11: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi AE, AF lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau ?

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh phương án D đúng.

Chọn D

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng ( ABC) . Xét các mệnh đề sau :

I. Vì OC ⊥ OA, OC ⊥ OB nên OC ⊥ (OAB)

II. Do AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OC     (1)

III. Có OH ⊥ (ABC) và AB ⊂ (ABC) nên AB ⊥ OH   (2)

IV. Từ (1) và (2) AB ⊥ (OCH)

Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng ?

A. I, II, III, IV

B. I, II, III

C. II, III, IV

D. I, IV

Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. SO ⊥ (ABCD)

B. SO ⊥ AC

C. SO ⊥ BD

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và SH ⊥ (ABCD). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. AC ⊥ SH

B. AC ⊥ KH

C. AC ⊥ (SHK)

D. Cả A, B, C đều sai

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. AK ⊥ HK                 B. HK ⊥ AM                 C. BD // KH                  D. AH ⊥ SB .

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau

A. I là trung điểm AB

B. I là trọng tâm tam giác ABC

C. I là trung điểm AC

D. I là trung điểm BC

Câu 6: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA ; OB ; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?

Câu 7: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B ; C ; D.

A. O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B. O là trọng tâm tam giác ACD

C. O là trung điểm cạnh BD

D. O là trung điểm cạnh AD

Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD). Biết H là trực tâm tam giác BCD . Khẳng định nào sau đây không sai?

A. AB = CD                   B. AC = BD                   C. AB ⊥ CD                   D. CD ⊥ BB

Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp(BCD) . Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. H là trực tâm tam giác BCD

B. CD ⊥ (ABH)

C. AD ⊥ BC

D. Các khẳng định trên đều sai.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?

A. BC ⊥ (SAH)                 B. HK ⊥ (SBC)

C. BC ⊥ (SAB)                 D. SH, AK và BC đồng quy

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Khẳng định nào sau đây là sai?.

A. SH ⊥ (ABCD)

B. SH ⊥ HC

C. A, B đều đúng

D. A, B là sai

Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?

A. ( A’BD)                B. ( A’DC’)                C. ( A’CD’)                D. ( A’B’CD)

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA = SC. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. SA ⊥ (ABCD)                 B. BD ⊥ (SAC)

C. AC ⊥ (SBD)                   D. AB ⊥ (SAC)

Câu 14: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. SA ⊥ BD                 B. SC ⊥ BD                 C. SO ⊥ BD                 D. AD ⊥ SC

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. (IJK) // (SAC)

B. BD ⊥ (IJK)

C. Góc giữa SC và BD có số đo 60°

D. BD ⊥ (SAC)

Câu 16: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Có đáy là hình thoi ∠BAD = 60° và AA’ = A’B = A’D. Gọi O = AC ∩ BD. Hình chiếu của A’ trên (ABCD) là :

A. trung điểm của AO

B. trọng tâm tam giác ABD

C. giao của hai đoạn AC và BD

D. trọng tâm tam giác BCD.