Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: f''=(f')' .

+Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc số tự nhiên ,n ≥ 2) là f^(n-1)(x). Nếu f^(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f⁽ⁿ⁾, tức là: f^{((n) )} (x)=(f^{((n-1) )} (x))'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= sin (3x – 1)

A. – 27cos( 3x- 1)        B. 27.cos(3x- 1)

C. 9.sin( 3x- 1)        D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y'=3 cos⁡(3x-1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 3.cos⁡( 3x-1) ]'= -9 sin⁡( 3x-1)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y'''=[ -9 sin⁡(3x-1) ]'= -27 cos⁡(3x-1)

Chọn A.

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= ( 2x+ x²)( x² – 1)

A. 12+ 24x        B. 12x² + 12x- 2        C. 12x+ 24        D. 6x+ 12

Hướng dẫn giải

Ta có: y=( 2x+ x²) ( x² -1)= 2x³

-2x + x4 – x2

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=6x²-2+4x³-2x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(6x²-2+4x³-2x)'=12x+12x²-2

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x+12x²-2)'=12+24x

Chọn A.

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= √(x²-1)

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm khi x > 1 hoặc x < -1( khi đó x² -1> 0)

Ví dụ 4. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= cos ( 2x+ x²)

A. - [ cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² + 2sin ( 2x+ x² )]

B. cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² + 2sin ( 2x+ x² )

C. - [ cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² - 2sin ( 2x+ x² )]

D. - [ cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² + sin ( 2x+ x² )]

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= -sin⁡(2x+ x² ).( 2x+ x² )'= -sin⁡( 2x+ x² ).( 2+2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[- sin⁡( 2x+ x² ).( 2+2x)]'

=-{[sin⁡( 2x+ x² ) ]'.( 2+2x)+sin⁡( 2x+ x² ).(2+2x)'}

= -{ cos(2x+ x²).(2x+ x²) '( 2+ 2x)+ sin (2x+ x²).2 }

= - [ cos( 2x+ x² )( 2+ 2x)² + 2sin ( 2x+ x² )]

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x-1)/(3x-6)?

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là

Ví dụ 6. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y= x¹⁰ + 9x² + 8x+ 10

A. 90x⁸ +1 8        B. 10x⁹ + 18x        C. 9x⁸+ 18        D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= 10x⁹+ 18x + 8

⇒ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=(10x⁹+18x+8)' = 90x⁸+ 18

Chọn A.

Ví dụ 7. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x⁸+ x⁴+x+ √x

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm nếu x< 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

Ví dụ 8 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= sin( 2x- 1) – cos (2x- 4)

A. y’’= - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)        B. y’’= - 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)

C. y’’= 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)        D.y’’= 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là; y'=2 cos⁡( 2x-1)+2sin⁡( 2x-4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[2 cos⁡( 2x-1)+2 sin⁡( 2x-4)]' = - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)

Chọn A.

Ví dụ 9. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= tan2x

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=2( 1+tan² 2x )

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y''=2.( 1+tan² 2x )’= 2.2. tan²x. ( tan²x)’

=4tan² x( 1+ tan²2x) . ( 2x)’= 8tan²x( 1+ tan²2x) = 8.tan²x+ 8tan³2x

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

Ví dụ 10: Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số y= 1/x

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠0

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= (- 1)/x²

Ví dụ 11: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= 1/(x²-5x+6)

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2;x≠3

Ví dụ 12: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x²+1)³ .

A. 3 .( x²+1) ²+6x² (x²+1)        B. 3 .( x²+1) ²+12x² (x²+1)

C. 6 .( x²+1) ²-12x² (x²+1)        D. 6 .( x²+1) ²+24x² (x²+1)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=3(x²+1) ².(x²+1)^'=6x.( x²+1) ²

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=6 .( x²+1) ²+6x.[( x²+1) ²]'

= 6 .( x²+1) ²+6x.2(x²+1).( x²+1)'

= 6 .( x²+1) ²+24x² (x²+1)

Chọn D.

Ví dụ 13 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(x³+ 2x² )

Hướng dẫn giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số: y=sin⁡(3x- π/3). Tính đạo hàm cấp năm của hàm số

Câu 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x+3)/(x-6)?

Câu 3: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= (x³ – 1) (x+1)

A. 12+ 24x        B. 24x+ 6        C. 12x+ 24        D. 24x+ 12

Câu 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y=x.sinx

A. cosx + x. sinx        B. 2sinx+ x. cosx

C. 2cosx- x. sinx        D. Đáp án khác

Câu 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos( x²+x+ 1)

A. y''= -cos⁡( x²+x+1).( 2x+1) ² – 2 sin( x² + x+ 1)

B. y''= cos⁡( x²+x+1).( 2x+1) ² + 2 sin( x² + x+ 1)

C. y''= -cos⁡( x²+x+1).( 2x+1) ² - sin( x² + x+ 1)

D. Tất cả sai

Câu 6: Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số; y=(x²+x+1)/(x+1)

Câu 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= 3cos( x+ 1) - 8. sin( 3x+ 10)

A. y''= -3 cos⁡( x+1)+72 sin⁡( 3x+10)

B. y''= -3 cos⁡( x+1)+36 sin⁡( 3x+10)

C.y''= -3 cos⁡( x+1) -72sin⁡( 3x+10)

D. tất cả sai

Câu 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x³+2x-1)² .

A. y''=( 3x²+2)( 6x²+4)- ( x³+2x-1).12x

B. y''=( 3x²+2)( 3x²+2)+( x³+2x-1).12x

C. y''=( 3x²+2)( 6x²+4)+( x³+2x-1).12x

D. Tất cả sai

Câu 9: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số sau y= x⁹ – x⁴ + 8x²+ 3

A. 504x⁶ - 24x        B. 72x⁶ - 24x+ 3        C. 72x⁷ - 24x+ 3        D. Tất cả sai

Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x⁷-2x²+9x+ 2√x

Câu 11: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(2x+1)+x²

Câu 12: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=2 cos ( 10- 2x)

A. –16 sin( 10- 2x)        B. – 16 cos( 10- 2x)

C. - 8.sin( 10- 2x)        D.Đáp án khác

Câu 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= sin ( x2- 9)

A. 4x². sin( x² – 9) - 2.cos( x² – 9)

B. - 2x². sin( x² – 9)+ 2.cos( x² – 9)

C. - 4x². sin( x² – 9)+ 2.cos( x² – 9)

D. Đáp án khác

Câu 14: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=cot( 2- 2x)

Câu 15: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= 1/(2x-2)