Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay

A. Phương pháp giải

+ Dãy số (u_n) là cấp số cộng khi và chỉ khi u_n+1 − u_n = d không phụ thuộc vào n và d là công sai.

+ Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u1; công sai d. Khi đó; số hạng thứ n của cấp số cộng là: u_n = u₁ + (n−1)d

+ Nếu biết số hạng thứ n và thứ m của dãy ta suy ra:

Giải hệ phương trình trên ta được u₁ và công sai d.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 0,4 và công sai d = 1. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng này là:

A. 1,6    B. 1,4    C. 10,4    D. 9,4

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là: u_n = u₁ + (n − 1) d

=>số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:

u₁₀ = 0,4 +(10 − 1) . 1 = 9,4

Chọn D.

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (u_n) có u₃ = −15 và u₁₄ = 18. Tìm u₁, d của cấp số cộng?

A. u₁ = −21; d = 3    B. u₁ = −20; d = 2

C. u₁ = −21; d = −3    D. u₁ = −20 ; d = −2

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Từ giả thiết suy ra: 

Chọn A.

Ví dụ 3: Cho cấp số cộng ( un) thỏa mãn :  . Tìm số hạng thứ 10 của cấp số.

A. 39     B.27

C. 36     D.42

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

=> Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là :

u₁₀ = u₁ + 9d = 3 + 9 . 4 = 39

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn điều kiện:  . Tìm công sai của cấp số cộng đã cho.

A.d = ±1     B.d = ±2     C .d = ±3     D. d = ±4

Hướng dẫn giải:

Theo đề bài ta có:

Từ (1) suy ra: u₁ + 2d = 4 ⇔ u₁ = 4 − 2d thế vào (2) ta được:

* Với d = 3 => u₁ = 4 − 6 = −2

* Với d = −3 => u₁ = 4 + 6 = 10

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) với u_n = 7 − 2n. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. 3 số hạng đầu của dãy u₁ = 5; u₂ = 3 và u₃ = 1.

B. Số hạng thứ n + 1 là u_n+1 = 8 − 2n.

C. Là cấp số cộng có d = −2.

D. Số hạng thứ 4: u₄ = −1.

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

=> đáp án A, D đúng.

*Số hạng thứ n+1 là: u_{n + 1} = 7 − 2(n+1) = 5 − 2n

=> B sai.

* Xét hiệu: u_n+1 − u_n = (5−2n) − (7 − 2n)= −2

=> (u_n) là cấp số cộng với công sai d = −2.

=> C đúng.

Ví dụ 6: Cho một cấp số cộng có u₁ = −1 và u₅ = 11. Tìm công sai của cấp số cộng ?

A. d= 3    B. d= 5    C. d= 4    D. d= 2

Hướng dẫn giải:

Ta có: u₅ = u₁ + (5−1)d

=> 11 = − 1 + 4d ⇔ d= 3

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho một cấp số cộng có u₁ = 10; u₇ = −8. Tìm d?

A. d= −2    B. d = −3    C. d = 2    D.d = 3

Hướng dẫn giải:

Ta có: u₇ = u₁ +(7−1)d

=> −8 = 10 + 6d

⇔ −18 = 6d nên d = −3

Chọn B.

Ví dụ 8: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn :  . Hỏi 301 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng.

A.99     B.100

C.101     D.103

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Ta có : 301 = 1 + (n − 1) . 3 ⇔ 300 = 3(n-1)

⇔ n − 1 = 100 ⇔ n = 101

Vậy 301 là số hạng thứ 101 của cấp số cộng.

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn  . Tìm số hạng thứ 6 của cấp số cộng ?

A.8     B.10

C. 6     D. 12

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có :

Từ (1) suy ra : u₁ = 8 − 5d thay vào (2) ta được : 

Với 

Số hạng thứ 6 là: 

Với d = 2 => u₁ = −2

Số hạng thứ 6: u₆ = −2 + 5 . 2 = 8

Chọn A.

Ví dụ 10: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = −2 và công sai d = 3. Hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số thỏa mãn u_n < 11.

A.3     B. 4     C.5     D.6

Hướng dẫn giải:

Cấp số cộng có u₁ = −2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:

u_n = u₁ + (n − 1) . d = −2 + 3(n − 1) = 3n − 5

Để u_n < 11 thì 3n − 5 < 11

Mà n nguyên dương nên n ∈ { 1,2,3,4,5}

Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện

Chọn C.

Ví dụ 11: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng của ba số hạng xen giữa đó.

A. 36     B.28    C. 32    D.30

Hướng dẫn giải:

Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:

u₁ = 2 và u₅ = 22.

+ Lại có: u₅ = u₁ + (5 − 1) d nên 22 = 2 + 4d

⇔ 20 = 4d ⇔ d= 5

+Suy ra: u₂ = u₁ + d = 2 + 5= 7

u₃ = u₁ + 2d = 2 + 2 . 5 = 12

Và u₄ = u₁ + 3d = 2 + 3 . 5 = 17

=> u₂ + u₃ +u₄ = 7 + 12 + 17 = 36

Chọn A.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn :  . Tìm số hạng thứ 20 của cấp số cộng.

A.67     B.75

C. 87     D. 91

Câu 2: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29.

A. 0 ; −3 ; −6     B. −2 ; −3 ; −4

C. −1; −2 ; −3    D. −3 ; −2 ; −1

Câu 3: Cho dãy số (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn:  Tính số hạng thứ 4 của cấp số cộng.

A.3 hoặc −1     B. 2 hoặc −2.

C.2 hoặc −3     D. −2 hoặc 1.

Câu 4: Cho 2 cấp số cộng : 5 ;8 ;11 ; .....và 3 ;7 ;11,.... Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số ; có bao nhiêu số hạng chung ?

A. 23     B. 24

C. 25     D. Tất cả sai

Câu 5: Cho cấp số cộng (u_n) có u₂ + u₃ = 20; u₅ + u₇ = −29 . Tìm u₁ ; d?

A. u₁ = 20; d = 7    B. u₁ = 20;d = 7

C. u₁ = 20,5; d = −7    D. u₁ = −20,5; d= 7

Câu 6: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn  . Tìm u₁ ;d biết u₁ > 0

A. u₁ = 3; d= 1    B. u₁ = 3; d = 2

C. u₁ = 2; d = 3    D. u₁ = 2; d = −3

Câu 7: Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d > 0 và  . Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó.

A. u_n = 3n − 9    B. u_n = 3n − 42

C. u_n = 3n − 67    D. u_n = 3n − 92

Câu 8: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Tính tổng số đo của góc có số đo lớn nhất và góc có số đo nhỏ nhất.

A. 140⁰    B. 120⁰

C. 135⁰    D. 150⁰

Câu 9: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn :  . Tính tổng của số hạng đầu tiên và công sai d ?

A. 3    B. 4

C. 5     D .6

Câu 10: Cho (u_n) là cấp số cộng, u₁; u₂; u₃ là 3 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn:  . Tìm tích 3 số đó?

A.15     B. 20

C. 21     D. 18

Câu 11: Cho cấp số cộng (u_n) có u₄ = −20; u₁₉ = 55 . Tìm u₁, d của cấp số cộng?

A. u₁ = −35; d = 5    B. u₁ = −35; d = −5

C. u₁ = 35; d = 5      D. u₁ = 35; d = −5

Câu 12: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn :  . Tìm số hạng thứ 2 của cấp số cộng.

A.6      B.7

C .8     D. 9