Lý thuyết Hàm số lượng giác

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:

1. Hàm số sin và hàm số cosin

a) Hàm số sin

- Định nghĩa:

    Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sin x

    sin: R → R

    x → y = sin x

được gọi là hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx.

- Tập xác định của hàm số sin là R.

- Là hàm số lẻ.

b) Hàm số côsin

- Định nghĩa:

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực cos x

cos: R → R

x → y = cos x

được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là: y = cos x.

- Tập xác định của hàm số cosin là R.

- Là hàm số chẵn.

2. Hàm số tang và hàm số cotang

a) Hàm số tang

- Định nghĩa: Hàm số tang là hàm số được xác định bới công thức:  (cos x ≠ 0)

- Kí hiệu là y = tan x

- Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R\{π/2 + kπ, k ∈ Z}.

- Là hàm số lẻ.

b) Hàm số cotang

- Định nghĩa:

    Hàm số cotang là hàm số được xác định bới công thức:  (sin x ≠ 0)

- Kí hiệu là y = cot x

- Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R\{kπ, k ∈ Z}.

- Là hàm số lẻ.

3. Tính tuần hoàn của hàm lượng giác

- Các hàm số y = sin x và y = cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kì 2π.

- Các hàm số y = tan x và y = cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kì π.

4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác

a) Hàm số y = sin x

- Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π]:

    Hàm số y = sin x đồng biến trên [0; π/2] và nghịch biến trên [π/2; π]

- Lưu ý: Vì y = sin x là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn [0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [–π; 0]

- Đồ thị hàm số y = sin x trên R: Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn [–π; π] theo các vecto v→ = (2π; 0) và –v→ = (–2π; 0)

- Tập giá trị của hàm số y = sin x là [–1; 1]

b) Hàm số y = cos x

- Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ u→ = (-π/2; 0), ta được đồ thị của hàm số y = cos x.

- Hàm số y = cos x đồng biến trên [–π; 0] và nghịch biến trên [0; π]

- Tập giá trị của hàm số y = cos x là [–1; 1]

c) Hàm số y = tan x

- Hàm số y = tan x đồng biến trên [0; π/2 )

- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O

=> Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x trên [0; π/2 ), ta được đồ thị hàm số y = tan x trên (–π/2; 0]

- Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (–π/2 ; π/2) songsong với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tan x trên D.

Tập giá trị của hàm số y = tan x là khoảng (–∞; +∞)

d) Hàm số y = cot x

- Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0; π)

- Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π) song song với trục hoành từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = cot x trên D.

- Tập giá trị của hàm số y = cot x là khoảng (–∞; +∞)