Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là có dạng:

a. sinx + b= 0 ( trong đó a ≠ 0) hoặc ( a.cosx+b= 0; a.tan x+ b= 0; a.cotx+ b= 0)

+ Để giải được phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta làm như sau:

• Bước 1: Đưa phương trình về dạng: sinx= m ( hoặc cosx =m; tanx= m; cotx= m).

• Bước 2. Giải phương trình lượng giác cơ bản.

• Bước 3. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Họ nghiệm của phương trình cot(x+π/3)+1=0 là

A. .

B.

C. .

D.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 2: Giải phương trình : 2tanx+ 10= 0

A. x= arctan 5+ k.π

B. x = arctan -5+ kπ

C. x= - 5+kπ

D. x= 1/5+kπ

Lời giải

Ta có: 2tanx + 10 = 0 ⇒ 2tanx= - 10

⇒ tanx= - 5.

Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình

Suy ra:Nghiệm của phương trình đã cho là: x= arctan-5+ kπ; k∈Z

Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình 3cot x+ √3=0là:

A.

B.

C.

D. x= (-π)/3+kπ.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 4: Phương trình  có nghiệm là

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Ta có: √3+tanx=0

Chọn B.

Ví dụ 5: Giải phương trình : 2sin( x – 10⁰) – sin90⁰ = 0

A.

B.

C.

D. Một đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2sin(x- 10⁰) - sin 90⁰= 0

⇒ 2sin(x – 10⁰) = sin90⁰ = 1

⇒ sin( x- 10⁰) = 1/2 = sin30⁰

Chọn C.

Ví dụ 6.Giải phương trình 2cos(x+ 10⁰) + 10= 0

Lời giải

Ta có : 2cos(x+ 10⁰) + 10= 0

⇒ 2cos(x+ 10⁰) = - 10

⇒ cos( x+ 10⁰) = - 5 (*)

Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos⁡(x+ 10⁰ ) ≤ 1 nên từ (*) suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ví dụ 7: Giải phương trình : 1/2.cot⁡( x+3π/4)=0.

A. (-π)/4+kπ.

B. π/4+kπ.

C. π/2+kπ.

D. π/3+kπ

Lời giải

Ta có: 1/2.cot⁡( x+3π/4)=0 ⇒ cot⁡( x+3π/4)=0.

⇒ cot(x+ 3π/4)=cot π/2

⇒ x+ 3π/4= π/2+kπ ⇒ x= (-π)/4+kπ

Chon A.

Ví dụ 8: Nghiệm của phương trình 

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 9. Giải phương trình : 2cos(x+ 30⁰) + 1= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 2cos(x+30⁰)+ 1= 0 ⇒ 2cos(x+ 30⁰) = - 1

⇒ cos( x+ 30⁰)= -1/2 = cos120⁰

Chọn B.

Ví dụ 10. Nghiệm của phương trình √12+2tanx=0 là:

A. π/6+kπ

B. (-π)/3+kπ

C. (-π)/6+kπ

D. (-π)/6+k2π

Lời giải

Chọn C

Ta có: √12+2tanx=0 ⇔ 2√3+2tanx=0

⇔ tan x= - √3 ⇔ tanx= tan (- π)/3

⇔ x= (-π)/3+kπ

Ví dụ 11. Tìm nghiệm của phương trình: 

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

Ví dụ 12. Cho phương trình  . Tìm m để phương trình có nghiệm?

A. Không tồn tại m.

B.m ϵ[-1;3] .

C. m ϵ[-3;-1]

D. mọi giá trị của m.

Lời giải

Chọn C.

Ta có: 

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos⁡( 2x- π/3) ≤ 1

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

-1 ≤ m+2 ≤ 1 hay-3 ≤ m ≤ -1

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình √3 sin⁡( x+π/10)+3=0

A. x= π/10+k2π

B. x= -π/10+k2π

C. Phương trình vô nghiệm

D. Đáp án khác

Câu 2:Giải phương trình: 2sin( x+π/6) – cos 3π/2=0

Câu 3:Giải phương trình : 2sin(x+ π/8)-10=0

A.

B.

C.

D.

Câu 4:Giải phương trình 3 cot⁡(x+ 2π/5)- √3=0

A. 

B.

C.

D.

Câu 5:Giải phương trình 2cos( 120⁰ - x)+ 1= 0

A.

B.

C.

D.

Câu 6:Giải phương trình: 3sin⁡(x- π/5)+3=0

Câu 7:Giải phương trình: √2 tan⁡( x- 15⁰ )- √2=0

A. 30⁰+ k. 180⁰

B.45⁰+ k.360⁰

C.45⁰+ k.180⁰

D. 60⁰+ k. 180⁰

Câu 8:Giải phương trình 2tanx – 6= 0

A. x= 3+ k. π

B. x = - 3+ kπ

C.x= arctan 3+ kπ

D. Phương trình vô nghiệm

Câu 9:Giải phương trình 

A.

B.

C.

D. Phương trình vô nghiệm

Câu 10:Giải phương trình 3sin(x+ 10⁰) - 1=0

A. 

B. 

C. 

D.