Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

* Định nghĩa:

+ Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u_n < u_{n + 1}

+ Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: u_n > u_n+1

* Để xét tính tăng (giảm) của dãy số ta có 2 cách sau:

+ cách 1: Xét hiệu: u_n+1 − u_n

Nếu u_n+1 − u_n > 0 thì dãy số tăng.

Nếu u_n+1 − u_n < 0 thì dãy số giảm

+ Cách 2. Nếu các số hạng của dãy u_n > 0 với mọi n: Xét thương 

Nếu T > 1 thì dãy số tăng.

Nếu T < 1 thì dãy số giảm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) với  (k là hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

+ Số hạng thứ 4 của dãy số là 

+ Số hạng thứ n + 1 của dãy số là 

+ Xét hiệu: 

=> Nếu k > 0 thì T < 0 nên dãy số giảm

Nếu k < 0 thì T > 0 nên dãy số tăng

=> B sai.

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho dãy số (u_n) với  . Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

+ Số hạng thứ 9 của dãy số là: 

+ Số hạng thứ 10 của dãy số là: 

+ Số hạng thứ 5 của dãy số là: 

+ Dãy u_n là một dãy đan dấu nên đây là dãy số không tăng; không giảm

=> C sai.

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) với  . Khẳng định nào sau đây là sai?

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: 

+ Xét hiệu 

=> u_n+1 > u_n và dãy số đã cho là dãy số tăng.

=> B sai.

Chọn B.

Ví dụ 4: Xét tính tăng; giảm của dãy số (u_n) biết 

A. Dãy số giảm     B. Dãy số tăng

C. Dãy số không tăng; không giảm    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Số hạng thứ n+1 là 

+ Xét hiệu:  ∀n ∈ N*

=> Dãy số (u_n) là dãy số giảm.

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) xác định bởi: u_n = (−1)ⁿ . (2ⁿ + 1). Tìm mệnh đề sai.

A. u₁ = −3

B. u₂ = 5

C. Dãy số giảm

D. Dãy số không tăng; không giảm

Hướng dẫn giải:

Ta có: u₁ = −3; u₂ = 5; u₃ = −9

Từ đó suy ra dãy số (u_n) là dãy số không tăng; không giảm.

=> C sai.

Chọn C.

Ví dụ 6: Cho dãy số (u_n) với u_n = a . 10ⁿ ( với a hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số có u_n+1 = a . 10ⁿ⁺¹.    B. Hiệu số u_n+1 − u_u = 10a.

C. Với a > 0 thì dãy số tăng    D. Với a < 0 thì dãy số giảm.

Hướng dẫn giải:

+Ta có: u_n+1 = a . 10^{n + 1}

+ Xét hiệu: u_n+1 − u_n = a . 10ⁿ⁺¹ − a . 10ⁿ = a . 10ⁿ (10 − 1) = 9a . 10ⁿ.

+ Nếu a > 0 thì u_{n + 1} − u_n > 0 nên dãy số tăng.

Và nếu a < 0 thì u_{n + 1} − u_n < 0 nên dãy số giảm.

=> B sai

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho dãy số (u_n) với  (a là hằng số) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: 

+ Xét hiệu: 

Nếu a > 0 thì u_{n + 1} − u_n < 0 => Dãy số giảm

Nếu a < 0 thì u_n+1 − u_n > 0 => dãy số tăng

Do chưa biết dấu của a nên ta chưa thể kết luận tính tăng; giảm của dãy số.

Chọn D.

Ví dụ 8: Chọn mệnh đề sai. Cho dãy số (u_n) xác định bởi 

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho dãy số (u_n) có u_n = −n² + n + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 5 số hạng đầu của dãy là −1; 1; −5; −11; −19.

B. Số hạng thứ n+1 là: u_n+1 = − n² + n + 2.

C. Số hạng thứ 10 của dãy số là : u₁₀ = 89

D. Là một dãy số giảm.

Hướng dẫn giải:

Ta xét các phương án:

+ 5 số hạng đầu tiên của dãy số là: 1; −1; −5; −11; −19

+ Số hạng thứ n+ 1 của dãy số là u_{n + 1} = −(n+1)² + (n+1) + 1 = −n2 − n + 1

+ Số hạng thứ 10 của dãy số là : u₁₀ = −89

+ Xét hiệu T = u_n+1 − u_n = (−n² − n + 1) − (−n² + n + 1)= −2n < 0 với ∀n ≥ 1

Do đó (u_n) là một dãy giảm.

Chọn D.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:  . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm

C. Số hạng thứ 2 là u₂ = √7.

D. u_n > 1 với mọi n.

Câu 2: Cho dãy số (u_n) với  . Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

A.a < 2    B. a > −2    C. a < 4    D. a < −4

Câu 3: Cho dãy số (u_n) xác định bởi :  .Tìm a để dãy số (u_n) tăng.

Câu 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u_n = 3ⁿ − n và dãy số (v_n) xác định bởi  . Tìm mệnh đề đúng ?

A. Dãy số (u_n) và (v_n) là hai số tăng.

B. Dãy số (u_n) và (v_n) là hai dãy số giảm.

C.Dãy số (u_n) tăng và dãy số (v_n) là giảm

D.Dãy số (u_n) giảm và dãy số (v_n) là tăng.

Câu 5: Cho dãy số (un ) với  và dãy số (vn ) với  . Tìm mệnh đề đúng ?

A. Dãy số (u_n) tăng ; dãy số (v_n) giảm.

B.Dãy số (u_n)giảm ; dãy số (v_n) tăng.

C. Dãy số (u_n) và (v_n) đều giảm.

D. Dãy số (u_n) và (v_n) đều tăng.

Câu 6: Dãy số (u_n) với u_n = n − √(n² − 1) và dãy số  . Chọn mệnh đề đúng

A. Cả hai dãy số giảm.

B. Cả hai dãy số tăng.

C. Dãy số (u_n) tăng và (v_n) giảm.

D. Dãy số (u_n) giảm và (v_n ) tăng.

Câu 7: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:  . Chọn mệnh đề sai.

A. Số hạng thứ hai u₂ = 1.

B. Dãy số (u_n) giảm.

C. Dãy số (u_n) tăng.

D. Các số hạng của dãy luôn dương.

Câu 8: Cho a dãy số (u_n) xác định bởi : u_n = 2n³ − 5n + 1. Tìm mệnh đề đúng

A. Dãy số tăng.

B.Dãy số giảm.

C.Số hạng thứ n+1 là u_{n + 1} = 2(n+1)³ − 5n + 1

D. Dãy số không tăng không giảm.

Câu 9: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: 

A. Dãy số tăng    B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm    D. Cả A, B, C đều sai

Câu 10: Cho dãy số (u_n) xác định bởi  . Tìm mệnh đề sai?

Câu 11: Cho dãy số (un) xác định bởi u_n> = 2n − √(4n² − 1). Tìm mệnh đề sai?