Tổng hợp các phép toán về vectơ trong không gian hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Các phép toán về vecto cần nhớ:

+) Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD ta có: 

+) Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D', ta có: 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vectơ: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B_1{C}_1}+\overrightarrow{D{D}_1}=k\overrightarrow{A{C}_1}$

A. k = 4               B. k = 1               C. k = 0               D. k = 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

+ Ta có: 

Nên k = 1.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC. A₁B₁C₁ . Đặt ; trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Hướng dẫn giải

Chọn C.

+ Ta có:

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Đặt . Khẳng định nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Ta phân tích như sau:

Ví dụ 4: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A; B; C; D không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để A; B; C; D tạo thành hình bình hành là

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ví dụ 5: Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau đây:

Hướng dẫn giải

Chọn C

Xét phương án C:

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Người ta định nghĩa “ G là trọng tâm tứ diện ABCD khi . Khẳng định nào sau đây sai?

A. G là trung điểm của đoạn IJ ( I; J lần lượt là trung điểm AB và CD).

B. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD.

C. G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC .

D. Chưa thể xác định được.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Xét phương án A:

   + Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD.

   + Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

⇒ G là trung điểm đoạn IJ.

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương án D sai.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi G là điểm thỏa mãn: $\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. . Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Chọn đẳng thức sai?

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi P; Q là trung điểm của AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁ với tâm O. Chọn đẳng thức sai.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của AB ; CD và G là trung điểm của MN. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?