Cách giải Phương trình lượng giác không mẫu mực cực hay

A. Phương pháp giải

Để giải các phương trình lượng giác không mẫu mực ta cần sử dụng:

• Các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng ...

• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ..

• Đánh giá: a2 ≥ 0 ; vế trái ≤ a; vế phải ≥ a. Từ đó; suy ra: Vế trái = vế phải= a.

• Đánh giá : Vế trái > a; vế phải < 0 nên phương trình vô nghiệm.....

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: 

A.

B.

C. x= kπ

D.

Lời giải

Ta có: sin4x- cos4x = 1+ 4√2 sin⁡( x- π/4)

⇒ sin 4x – ( 1+ cos4x) = 4(sinx – cosx)

⇒ 2.sin2x. cos2 x- 2cos²2x = 4( sinx- cosx)

⇒ 2cos 2x.( sin2x – cos 2x) – 4(sinx- cosx)= 0

⇒ 2(cos² x- sin² x). ( sin2x- cos2x) – 4.(sinx- cosx) = 0

⇒ 2. ( cosx- sinx) . ( cosx+ sinx). (sin2x- cos2x) + 4( cosx + sinx) = 0

⇒ 2. ( cosx – sinx) .[ (cosx+ sinx) ( sin2x- cos2x) + 2] = 0

Chọn D.

Ví dụ 2. Giải phương trình: 

A. 

B. 

C. 

D. Phương trình vô nghiệm

Lời giải

Chọn B .

Ví dụ 3. Giải phương trình:

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 4. Giải phương trình sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos 3x.(1+ sinx- 2cos 3x) = 0

A. π/8+ kπ/2

B. k2π/3

C. kπ/4

D. Vô nghiệm

Lời giải

Ta có:

sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos 3x.(1+ sinx- 2cos 3x) = 0

⇒ sin3x. cosx – 2sin²3x + cos 3x + cos3x.sinx – 2cos²3x = 0

⇒ ( sin3x. cosx + cos3x.sinx) – 2( sin² 3x+ cos² 3x) + cos3x = 0

⇒ sin4x –2 + cos3x= 0

⇒ sin4x+ cos3x = 2 (*)

Với mọi x ta có: - 1 ≤ sin4x ≤ 1 và-1 ≤ cos3x ≤ 1

⇒ - 2 ≤ sin4x+cos3x ≤ 2

⇒ Không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D

Ví dụ 5. Giải phương trình: 

A.

B. 

C. 

D.Vô nghiệm

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 6. Giải phương trình: 

A. 

B. 

C. 

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 7. Giải phương trình: 

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 8. Giải phương trình : 

A.

B.

C.

D.

Lời giải

+ Điều kiện: sinx ≠ 0

Chọn A.

Ví dụ 9. Giải phương trình: sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos3x. (1+ sinx – 2cos3x) =0

A. 

B. 

C. 

D. Vô nghiệm

Lời giải

Ta có: sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos3x. (1+ sinx – 2cos3x) = 0

⇒ sin3x. cosx – 2sin²3x + cos3x + cos3x.sinx – 2cos²3x=0

⇒ ( sin3x. cosx + cos3x. sinx) - 2( sin²3x + cos²3x) +cos3x = 0

⇒ sin4x - 2+ cos3x= 0

⇒ sin4x + cos3x = 2 (1)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 10. Giải phương trình 

A. x= π/4+kπ

B. kπ

C. Vô nghiệm

D. Cả A và B đúng

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 11. Giải phương trình 

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 12. Cho phương trình:  Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình có dạng πa/b với a; b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S= b-a

A. 2

B. 3

C. 4

D.1

Lời giải.

Do đó phương trình đã cho trở thành:

2²⁰¹⁷.( sin²⁰¹⁸x + cos²⁰¹⁸x ) .(sinx+ cosx) .cosx= cosx( sinx+ cosx)

⇒ 2²⁰¹⁷.( sin²⁰¹⁸x + cos²⁰¹⁸x ) .(sinx+ cosx) .cosx- cosx( sinx+ cosx) = 0

⇒ cosx.( cosx+ sinx) .[ 2²⁰¹⁷.( sin²⁰¹⁸x + cos²⁰¹⁸x )- 1] = 0

Chọn D.

Ví dụ 13. Giải phương trình sin²⁰x + cos²⁰ x= 1

A. x= kπ

B. x= kπ/2

C. x= π/2+kπ

D. x= kπ/4

Lời giaỉ

Ta có: sin²⁰ x + cos²⁰ x = 1

⇒ sin²⁰ x + cos²⁰ x = sin² x+ cos² x

⇒ sin²⁰ x - sin² x = cos² x- cos²⁰ x

⇒ sin² x( sin¹⁸ x – 1)= cos² x( 1- cos¹⁸ x)

+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin² x ≤ 1

⇒ sin¹⁸x- 1 < 0

⇒ vế trái ≤ 0 (1)

+ Tương tự có: 1- cos¹⁸x ≥ 0

⇒ Vế phải ≥ 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: vế trái= vế phải = 0

Vậy nghiệm phương trình đã cho là x= kπ/2

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình: cosx. cos2x. cos4x. cos 8x= 1/16 ( *)

A. x= 

B. x= 

C. x= 

D. Đáp án khác

Câu 2:Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos3x. (2cos2x+ 1) = 1/2 có dạng πa/b với a ; b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S= a. b

A. 6

B.7

C. 8

D. 9

Câu 3:Cho phương trình sin²⁰¹⁸x + cos²⁰¹⁸x = 2( sin²⁰²⁰x+ cos²⁰²⁰x). Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

Câu 4:Nghiệm dương lớn nhất của phương trình tan²⁰¹⁸ x+ cot²⁰¹⁸x = 2.sin²⁰¹⁷(x+ π/4) có dạng πa/b với a; b là các số nguyên a > 0 và a; b nguyên tố cùng nhau. Tính S= a.b

A. 4

B. 3

C. 6

D. 8

Câu 5:Giải phương trình: 

A. x= kπ/4

B. x= kπ/2

C. kπ

D. kπ/3

Câu 6:Cho phương trình: 4cos²x+ tan² x+ 4= 2.(2cosx – tanx ) . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 10π)?

A. 10

B.16

C. 22

D. Vô nghiệm

Câu 7:Giải phương trình 

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 8:Giải phương trình:

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 9:Giải phương trình 

A.

B.

C.

D.

Câu 10:Giải phương trình 

A. 

B. 

C. 

D.Vô nghiệm

Câu 11:Giải phương trình 

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 12:Giải phương trình : 4sin3x. cos2x =1+ 6sinx – 8sin³ x

A. 

B. 

C. 

D. 

Câu 13:Giải phương trình: 

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Câu 14:Giải phương trình:

A.

B.

C.

D.