Cách xét tính liên tục của hàm số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

- Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm x₀ ∈ D. Để xét tính liên tục của hàm số trên tại điểm x = x₀ ta làm như sau:

       + Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x₀ và tính f(x₀)

       + Nếu tồn tại  thì ta so sánh

 với f(x₀).

Nếu  =     f(x₀) thì hàm số liên tục tại x₀

Chú ý:

1. Nếu hàm số liên tục tại x₀ thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.

2. 

3. Hàm số  liên tục tại x = x₀ ⇔  = k

4. Hàm số  liên tục tại điểm x = x₀ khi và chỉ khi 

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập

Ta sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Hướng dẫn:

Ta có

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Hướng dẫn:

Vậy hàm số không liên tục tại điểm x = -1

Bài 3: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra

Hướng dẫn:

Ta có

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Bài 4: Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x = 0

Hướng dẫn:

Bài 5: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy hàm số gián đoạn tại x = -1

Bài 6: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3

Hướng dẫn:

1. Hàm số xác định trên R

Ta có f(3) = 10/3 và

Vậy hàm số không liên tục tại x = 3

2. Ta có f(3) = 4 và

Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3

Bài 7: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số

1. f(x) = tan2x + cosx

Hướng dẫn:

1. TXĐ: 

Vậy hàm số liên tục trên D

2. Điều kiện xác định:

Vậy hàm số liên tục trên (1;2) ∪ (2,+∞)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho  với x ≠ 0. Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0?

Bài 2: Cho hàm số . Hàm số f(x) liên tục tại:

A. Mọi điểm thuộc R

B. Mọi điểm trừ x = 0

C. Mọi điểm trừ x = 1

D. Mọi điểm trừ x = 0 và x = 1

Bài 3: Cho 

Phải bổ sung thêm giá trị f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục trên R?

A. 0             B. 1            C. √2            D. 2

Bài 4: Cho hàm số . Chọn câu đúng trong các câu sau:

(I) f(x) liên tục tại x = 2

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2

(III) f(x) liên tục trên đoạn [-2;2]

A. Chỉ (I) và (III)            B. Chỉ (I)            C. Chỉ (II)            D. Chỉ (II) và (III)

Bài 5: Cho hàm số . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) f(x) gián đoạn tại x = 1

(II) f(x) liên tục tại x = 1

A. Chỉ (I)            B. Chỉ (II)            C. Chỉ (I) và (III)            D. Chỉ (II) và (III)

Bài 6: Cho 

Phải bổ sung thêm giá trị f(0)bằng bao nhiêu thì hàm f(x) liên tục trên R?

A. 5/7             B. 1/7             C. 0             D. -5/7

Bài 7: Cho hàm số

A. 11            B. 4            C. -1             D. -13

Bài 8: Cho hàm số 

Kết luận nào sau đây không đúng?

A. Hàm số liên tục tại x =-1

B. Hàm số liên tục tại x = 1

C. Hàm số liên tục tại x = -3

D. Hàm số liên tục tại x = 3

Bài 9: Cho hàm số 

Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -2

B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0

C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0,5

D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2

Bài 10: Cho hàm số 

Kết luận nào sau đây là sai:

A. Hàm số liên tục tại x = -2

B. Hàm số liên tục tại x = 2

C. Hàm số liên tục tại x = -4

D. Hàm số liên tục tại x = 4

Bài 11: Cho 

Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0?

A. 0            B. 1/2            C. 1/√2            D. 1/(2√2)

Bài 12: Cho hàm số . Kết luận nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = -3

B. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0

C. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 2

D. Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 3

Bài 13: Cho hàm số  . Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(II) f(x) liên tục tại x = –2

(III) f(x) gián đoạn tại x = –2

A. Chỉ (I) và (III)             B. Chỉ (I) và (II)            C. Chỉ (I)            D. Chỉ (III)

Bài 14: Cho hàm số . Kết luận nào sau đây là đúng?

Kết luận nào sau đây không đúng?

A. Hàm số liên tục tại x = -2

B. Hàm số liên tục tại x = 2

C. Hàm số liên tục tại x = -1

D. Hàm số liên tục tại x = 1

Bài 15: Cho . Kết luận nào sau đây là đúng?

Phải bổ sung giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số đã cho liên tục trên R?

A. -4/7            B. 0            C. 1/7            D. 4/7