Cách chứng minh phương trình có nghiệm cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

+) Áp dụng định lý: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

+) Các bước làm bài chứng minh phương trình có nghiệm.

- Bước 1: Biến đổi phương trình cần chứng minh về dạng f(x) = 0.

- Bước 2: Tìm 2 số a và b (a < b) sao cho f(a) . f(b) < 0

- Bước 3: Chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

 Từ đó suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (a; b).

 Lưu ý: Các bước trên có thể thay đổi thứ tự.

+) Một số chú ý:

- Nếu f(a).f(b) ≤ 0 thì phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [a; b].

- Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; + ∞) và có f(a) .  < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a; +∞).

- Nếu hàm số f(x) liên tục trên (-∞; a] và có f(a) .  < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-∞; a).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình x³ + ax² + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + ax² + bx + c thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có:  ⇒∃ x₁ > 0 để f(x₁) > 0

Tương tự:  ⇒∃ x₂ < 0 để f(x₂) < 0

Như vậy có x₁ ; x₂ để f(x₁) . f(x₂) < 0 suy ra phương trình có nghiệm x ∈ (x₁; x₂)

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi a, b, c.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình x⁵ - 5x³ + 4x - 1 = 0 có đúng 5 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x⁵ - 5x³ + 4x - 1 thì f(x) liên tục trên R (vì f(x) là hàm đa thức).

Ta có:

Vì  nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc 

Vì  nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 

Vì  nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 

Vì  nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng 

Vì f(1) . f(3) = -1 . 119 = -119 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 3).

Do các khoảng  không giao nhau nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm.

Mà phương trình f(x) = 0 có bậc là 5, nên nó có không quá 5 nghiệm

Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 5 nghiệm (đpcm).

Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình (m² - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4 = 0 với n ∈ N* luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = (m² - m + 3)x²ⁿ - 2x - 4

Ta có:

Mặt khác hàm số f(x) xác định là liên tục trên R nên hàm số liên tục trên đoạn [-2; 0]

Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-2; 0).

Vậy phương trình đã cho luôn có ít nhất 1 nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.

Ví dụ 4: Chứng minh rằng phương trình x³ + x - 1 = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x³ + x - 1

Hàm f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R (định lý cơ bản về tính liên tục)

Suy ra hàm f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] (vì [0; 1] ⊂R) (1)

Ta có: f(0) = 0³ + 0 – 1 = - 1 ; f(1) = 13 + 1 – 1 = 1

⇒ f(0) . f(1) = - 1. 1 = - 1 < 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1) (tính chất hàm số liên tục).

Vậy phương trình x³ + x - 1 = 0 có nghiệm (đpcm).

Ví dụ 5: Chứng minh 4x⁴ + 2x² - x - 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm thuộc khoảng (-1; 1).

Hướng dẫn giải:

+ Đặt f(x) = 4x⁴ + 2x² - x - 3

Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên R.

Suy ra f(x) liên tục trên các đoạn [-1 ; 0] và [0; 1].

+ Ta có: f(-1) = 4.(-1)⁴ + 2.(-1)² - (-1) - 3 = 4

f(0) = 4.0 + 2.0 - 0 - 3 = -3

f(1) = 4.1⁴ + 2.1² - 1 - 3 = 2

+ Vì f(-1).f(0) = 4.(-3) = -12 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-1; 0)

Vì f(0) . f(1) = -3 . 2 = -6 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1)

Mà hai khoảng (-1; 0) và (0; 1) không giao nhau. Từ đó suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thuộc (-1; 1). (đpcm)