Tổng hợp các công thức tính đạo hàm chi tiết

I. Định nghĩa đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

* Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ thuộc (a; b).Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) : 

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 và được kí hiệu là f^' (x₀ ). Vậy 

* Chú ý:

Đại lượng ∆x= x- x₀ được gọi là số gia của đối số tại x₀.

Đại lượng ∆y= f(x) – f( x₀)= f( x₀+ ∆x)- f( x₀) được gọi là số gia tương ứng của hàm số.

• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Quy tắc tính hàm định nghĩa:

+ Bước 1: Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0; tính :

∆y= f( x₀+ ∆x)- f( x₀) .

+ Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x.

+ Bước 3:

3. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số.

* Định lí: Nếu hàm số y= f( x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

* Chú ý:

+ Nếu hàm số y= f(x) gián đoạn tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại điểm đó.

+ Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.

4. Đạo hàm một bên. Đạo hàm trên khoảng; trên đoạn.

a. Đạo hàm bên trái, bên phải

+ Nếu tồn tại giới hạn( hữu hạn) bên phải

ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y= f(x) tại x=x₀ và kí hiệu f^'(x₀⁺)

+ Tương tự; đạo hàm bên trái của hàm số là

Hệ quả : Hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f^'(x₀⁺) và f^;(x₀^-) đồng thời f^' (x₀⁺ )=f^'(x₀^-) .

b. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số y=f(x) có đạo hàm trên (a;b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc (a; b).

Hàm số y= f(x) có đạo hàm trên[a;b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái tại x= b và đạo hàm phải tại x= a.

5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Định lí: Đạo hàm của hàm số y= f(x) taị điểm x=x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của đồ thị hàm số y= f( x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Định lí: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)) là:

y – y₀= f’(x₀) ( x- x₀)

trong đó y₀= f( x₀) .

6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm.

a. Vận tốc tức thời.

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s= s(t); với s= s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số s= s(t) tại t₀:

v(t₀) = s’(t₀)

b. Cường độ tức thời.

Nếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: Q= Q(t) ( là hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số Q= Q(t) tại t₀:

I(t₀)= Q’(t₀) .

II. Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

a. Định lí 1: Hàm số y= xⁿ (n ∈ N; n > 1) có đạo hàm tại mọi x∈R và :

(xⁿ )'=nx^(n-1)

Nhận xét :

Đạo hàm của hàm hằng bằng 0 : (c)'=0 .

Đạo hàm của hàm số y=x bằng 1 : (x)'=1.

b. Định lí 2. Hàm số y= √x có đạo hàm tại mọi x dương và :

(√x)'= 1/(2√x)

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số

a. Định lí : Giả sử u= u(x) ; v= v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có :

(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'

(u.v)'=u'.v+u.v'

(u/v)'= (u'.v-u.v')/v² ( v=v(x)≠0 )

(u₁±u₂±⋯±u_n) '= u₁'±u₂'±⋯±u_n'

b.Hệ quả.

Nếu k là một hằng số thì : ( ku)'=k.u'

(1/v)'= (- v')/v² ( v=v(x)≠0)

3. Đạo hàm của hàm số hợp

Định lí : Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm tại x là u'_xvà hàm số y=f(u) có đạo hàm tại u là y'_u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm tại x là :

y'_x= y'_u.u'_x

Bảng tóm tắt

( u+v-w)'=u'+v'-w'

(ku)^'=k.u' ( k là hằng số)

(uv)'=u^'.v+uv'

( u/v)'= (u' v-uv')/v²

(1/v)'=(-v')/v²

y'_x= y'_u.u'_x

III. Đạo hàm của hàm số lượng giác

1. Giới hạn lượng giác

2. Đạo hàm của hàm số y= sinx

* Định lí : Hàm số y= sinx có đạo hàm tại mọi x∈R và (sinx)'=cosx

* Chú ý : Nếu y= sinx và u= u(x) thì : ( sinu)'=u'.cosu

3. Đạo hàm của hàm số y= cosx

* Định lí : Hàm số y= cosx có đạo hàm tại mọi x∈R và ( cosx)'= -sinx

* Chú ý : Nếu y= cosu và u= u(x) thì : (cosu)'= -u'.sinu

4. Đaọ hàm của hàm số y= tan x

* Định lí : Hàm số y= tanx có đạo hàm tại mọi x≠π/2+kπ;k∈Z và (tanx)'= 1/(cos² x)

* Chú ý : Nếu y= tan u và u= u( x) thì ta có : ( tanu)'= u'/(cos² u)

5. Đạo hàm của hàm số y= cotx

*Định lí : hàm số y= cotx có đạo hàm với mọi x≠kπ;k∈Z và (cot⁡x )'= (- 1)/(sin² x)

*Chú ý : Nếu y= cotu và u= u(x) ta có : (cotu)'= (- u')/(sin² u)

Bảng đạo hàm

IV. Vi phân

1. Định nghĩa

Tích f' (x).∆x được gọi là vi phân của hàm số y= f(x) tại điểm x (ứng với số gia ) được kí hiệu là : d f(x) hoặc dy tức là :

dy= df(x)= f' (x).∆x

*Chú ý

Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y=x ta có :

dx=d( x)=(x).∆x=1.∆x= ∆x

Do đó với hàm số y= f(x) ta có : dy=df(x)=f' (x).dx

2. Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng.

Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a ;b) và có đạo hàm tại x thuộc (a;b). Giả sử ∆ x là số gia của x. Ta có :

f(x₀+ ∆x)≈f(x₀ )+f' (x₀ ).∆x

V. Đạo hàm cấp cao của hàm số

1. Định nghĩa

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: .

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc Y, n lón hơn hoặc bằng 2 ) là f^(n-1)(x). Nếu f^(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f⁽ⁿ⁾, tức là: f^{((n) )} (x)=(f^((n-1) ) (x))'

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

Xét một vật chuyển động xác định bởi phương trình s= s( t) ; trong đó s= s(t) là một hàm số có đạo hàm đến cấp hai.

Đạo hàm cấp hai s''(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s= s(t) tại thời điểm t.