Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép vị tự cực hay

A. Phương pháp giải

● Cách 1. Sử dụng tính chất: Phép vị tự biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nói.

● Cách 2. Dùng biểu thức tọa độ của phép vị tự.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình 2x + 3y - 1 = 0 và điểm I(-1;3), phép vị tự tâm I tỉ số k = -3 biến đường thẳng (d) thành đường thẳng (d'). Viết phương trình đường thẳng (d')

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Đường thẳng (d') có dạng: 2x + 3y + m = 0.

Lấy A(-1;1) ∈ (d), gọi A'(x;y) là ảnh của A qua 

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình 5x + 2y-7 = 0. Hãy viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép vị tự tâm O tỉ số k = -2.

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Lấy M(x;y) ∈ d ⇒ 5x + 2y - 7 = 0 (*).

Gọi M'(x';y') = V_(O,-2)(M).

Theo biểu thức tọa độ ta có:

Thay vào (*) ta được x' - y' - 7 = 0 ⇔ 5x' + 2y' + 14 = 0

Vậy d': 5x + 2y + 14 = 0.

Cách 2: Do d' song song hoặc trùng với d nên phương trình có dạng : 5x + 2y+c = 0.

Lấy M(1;1) thuộc d. Gọi M'(x';y') = V_(O,-2)(M) ta có 

Thay vào (*)ta được c = 14.

Vậy d': 5x + 2y + 14 = 0.

Ví dụ 3: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:

a) d: 4x – 3y + 1 = 0, k = -3

b) d: x – 4y + 2 = 0, k = 1/2

Hướng dẫn giải:

a)

* Cách 1: Gọi V_(O,-3)(d) = d' ⇒ d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 4x – 3y + C = 0

Chọn A(2; 3) ∈ d V_(O,-3)(A) = A' (-6; -9) ∈ d’. Khi đó: -24 + 27 + C = 0 ⇔ C = -3

Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – 3 = 0

* Cách 2: Chọn A(2; 3) ∈ d V_(O,-3)(A) = A' (-6; -9) ∈ d’ và B(-1; -1) ∈ d V_(O,-3)(B) = B' (3; 3) ∈ d’

PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:

b)

* Cách 1: Gọi (d) = d' ⇒ d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x – 4y + C = 0

Chọn A(-2; 0) ∈ d (A) = A' (-1; 0) ∈ d’. Khi đó: -1 + C = 0 ⇔ C = 1

Vậy: PT đt d’ là: x – 4y + 1 = 0

* Cách 2: Chọn A(-2; 0) ∈ d (A) = A' (-1; 0) ∈ d’ và B(6; 2) ∈ d (B) = B' (3; 1) ∈ d’

PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng Δ₁, Δ₂ lần lượt có phương trình x - 2y + 1 = 0, x - 2y + 4 = 0 và điểm I(2;1). Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng Δ₁ thành Δ₂. Tìm k.

A. k = 1.

B. k = 2.

C. k = 3.

D. k = 4.

Câu 2. Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép vị tự với tỉ số k = 20 biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 3. Cho hai đường thẳng song song d và d' và một điểm O không nằm trên chúng. Có bao nhiêu phép vị tự tâm O biến đường thẳng d thành đường thằng d'?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 4. Cho phép biến hình F có quy tắc đặt ảnh tương ứng điểm M(x_M;y_M) có ảnh là điểm M'(x';y') theo công thức . Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d: x + 2y + 1 = 0 qua phép biến hình F.

A. d': 2x + y + 2 = 0.

B. d': x + 2y + 3 = 0.

C. d': x + 2y + 2 = 0.

D. d': x + 2y = 0.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: x + 2y - 1 = 0 và điểm I(1; 0). Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng Δ thành Δ' có phương trình là:

A. x - 2y + 3 = 0.

B. x + 2y - 1 = 0.

C. 2x - y + 1 = 0.

D. x + 2y + 3 = 0.

Câu 6. Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x + 2y = 0.

B. 2x + 2y - 4 = 0.

C. x + y + 4 = 0.

D. x + y - 4 = 0.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x + y - 3 = 0. Phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x + y + 3 = 0.

B. 2x + y-6 = 0.

C. 4x - 2y - 3 = 0.

D. 4x + 2y - 5 = 0.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: x + 2y - 1 = 0 và điểm I(1;0). Phép vị tự tâm I tỉ số k biến đường thẳng Δ thành Δ' có phương trình là:

A. x - 2y + 3 = 0.

B. x + 2y - 1 = 0.

C. 2x - y + 1 = 0.

D. x + 2y + 3 = 0.

Câu 9. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d'. Có bao nhiêu phép vị tự biến d thành đường thằng d'?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 10. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d'. Có bao nhiêu phép vị tự biến mỗi đường thẳng thành chính nó ?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 11. Trong măt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0. Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến d thành đường thẳng nào trong các đường thẳng có phương trình sau?

A. 2x + 2y = 0.

B. 2x + 2y - 4 = 0.

C. x + y + 4 = 0.

D. x + y - 4 = 0.