Dạng bài Tính chất đối xứng trục hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

[1]. Định nghĩa phép đối xứng trục.

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M'sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là D_d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là D_d.

Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d.

Nhận xét:

• Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M₀ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó 

• 

[2]. Tính chất

Tính chất 1

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

[3].Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó.

Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B (nằm về hai phía của d). Tìm điểm M trên d sao cho |MA - MB| đạt GTLN .

Hướng dẫn giải:

- Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy: |MA - MB| = |MA' - MB| = A'B.

Giả sử tồn tại một điểm M’ khác với M trên d, khi đó: |M'A - M'B| = |M'A' - M'B| ≤ A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi M’; A’; B thẳng hàng, nghĩa là M trùng với M’.

Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong của góc đó, điểm B thuộc cạnh Ox (B khác O). Tìm C thuộc Oy sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải:

Gọi M là điểm đối xứng với A qua Ox. Vì B ∈ Ox nên suy ra BA = BM.

Gọi N là điểm đối xứng với A qua Oy Vì C ∈ Oy nên suy ra CA = CN.

Chu vi tam giác: P_ΔABC = AB + BC + CA = BM + BC + CN. (*)

Theo bất đẳng thức tam giác mở rộng, ta có

MB + BC ≥ MC và MC + CN ≥ MN.

Kết hợp với (*), suy ra

P_ΔABC = (MB + BC) + CN ≥ MC + CN ≥ MN.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi B, C, M, N thẳng hàng hay C là giao điểm của BM với trục Oy.

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?

Hướng dẫn giải:

- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d

- Nối A’B cắt d tại M. M chính là điểm cần tìm.

- Thật vậy: Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA = MA’ (1). Do đó: MA + MB = MA’ + MB = A’B .

- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì: M’A + M’B = M’A’ + M’B ≥ A'B. Dấu bằng chỉ xảy ra khi A’; M’; B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Tam giác có trục đối xứng.

B. Tứ giác có trục đối xứng.

C. Hình thang có trục đối xứng.

D. Hình thang cân có trục đối xứng.

Câu 2. Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 3. Cho ba đường tròn có bán kính bằng nhau và đôi một tiếp xúc ngoài với nhau tạo thành hình H. Hỏi H có mấy trục đối xứng?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 4. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng đó thành chính nó?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 5. Cho hai đường thẳng song song a và b, một đường thẳng c vuông góc với chúng. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành b và c thành chính nó?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 6. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến một đường thẳng d cho trước thành chính nó?

A. Không có phép nào.

B. Có một phép duy nhất.

C. Chỉ có hai phép.

D. Có vô số phép.

Câu 7. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d'?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 8. Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và góc ở giữa chúng bằng 60°. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành a và biến b thành b?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 9. Cho hai đường thẳng song song d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến mỗi đường thẳng thành chính nó ?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 10. Cho hai đường thẳng vuông góc với nhau a và b. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến a thành a và biến b thành b?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 11. Tam giác đều có bao nhiêu trục đối xứng?

A. 0.

B. 1.

C. 3.

D. Vô số.

Câu 12. Trong các hình sau đây, hình nào có bốn trục đối xứng?

A. Hình bình hành.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình thoi.

D. Hình vuông.

Câu 13. Hình gồm hai đường thẳng d và d' vuông góc với nhau có mấy trục đối xứng?

A. 0.

B. 2.

C. 4.

D. Vô số.