Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Cho một phương trình lượng giác để quy phương trình đó về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta cần: sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng...

+ Sau đó; áp dụng cách giải phương trình phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác để giải phương trình

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình 8.sin x.cosx.cos2x + 1=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có; 8sinx. cosx.cos2x + 1 = 0

4sin2x.cos2x + 1= 0 ( vì 2sinx. cosx= sin2x)

2.sin4x+ 1= 0 ( vì 2.sin2x. cos2x= sin4x)

sin 4x= (- 1)/2 = sin (-π)/6

Chọn B.

Ví dụ 2: Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 3. Phương trình:  có nghiệm là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Ta có :

Chọn B

Ví dụ 4. Nghiệm của phương trình cos⁴ x- sin⁴x là

Lời giải

Ta cos: cos⁴ x- sin⁴ x=0

⇒ ( cos² x- sin² x) ( cos² x+ sin² x) = 1

⇒ cos²x - sin² x = 1 ( vì cos²x + sin² x = 1)

⇒ cos2x= 1 ⇒ 2x= k2π

⇒ x= kπ

Chọn D.

Ví dụ 5: Phương trình 4cos² x – 2sin₂ x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?

A. 1+ 2sin2x = 0

B.2- 4sin2x = 0

C. 1+ 3cos2x= 0

D. 1- 2cos2x =0

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

4cos² x – 2sin² x=0

⇒ 2 . (1+ cos2x) – (1 – cos2x)= 0

⇒ 1 + 3cos2x=0

Chọn C .

Ví dụ 6: Phương trình  có nghiệm là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Điều kiện

So sánh với điều kiện, ta nhận x= π/6+k.π/3.

Chọn B.

Ví dụ 7. Phương trình sin³x+ cos³ x+sin²x. cosx + cos² x. sinx =  có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Điều kiện:

Ta có: sin³x+ cos³ x+sin³x. cosx + cos³x. sinx = 

⇒ ( sinx+ cosx). ( sin² x- sinx. cosx+ cos²x)+ sinx. cosx ( sinx+ cosx)= 

⇒ (sinx+ cosx) . (1 – sinx. cosx) + sinx. cosx.( sinx+ cosx) = 

⇒ (sinx+ cosx) .( 1- sinx.cosx+ sinx. cosx)= 

⇒ sinx+ cosx = 

⇒ (sinx+ cosx)² = 2sin2x

⇒ sin²x+ cos²x + 2sinx. cosx= 2sin2x

⇒ 1+ sin2x = 2sin2x ⇒ sin2x= 1

⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ

So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = π/4+kπ

Chọn B.

Ví dụ 8. Phương trình  có nghiệm là:

A. .

B. .

C. .

D.Vô nghiệm.

Lời giải

⇒ 1- 2sin2 x.cos2x= sin2x+ cos2x

⇒ 1- 2sin2 x. cos2 x= 1

⇒ 2sin2x. cos2 x= 0 ⇒ sinx. cosx=0

⇒ sin2x= 0 ⇒ 2x=kπ

⇒ x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

Chọn D.

Ví dụ 9. Giải phương trình: cos2x.cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx.cos3x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: cos2x.cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx. cos3x

⇒ ( cos2x. cosx – sin2x.sinx )+ (sin3x. cosx + sinx. cos3x) = 0

⇒ cos3x + sin4x= 0 ⇒ cos 3x = -sin 4x

⇒ cos3x= cos(π/2+4x)

Chọn C.

Ví dụ 10: Giải phương trình cot2x.cotx= 1.

A. 

B. 

C. 

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ví dụ 11: Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là:

A. 

B. 

C. k <

D. Vô nghiệm.

Lời giải

Điều kiện: 

Ta có: tan3x. cot 2x=1 ⇒ tan 3x= 1/cot⁡2x

⇒ tan 3x= tan 2x ( vì tan2x.cot 2x = 1)

⇒ 3x= 2x+ kπ ⇒ x = kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 12: Phương trình  có nghiệm là:

A. 

B.

C. 

D. 

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 13: Giải phương trình sinx. cosx.(2cosx -1) = 0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : sinx. cosx. (2cosx-1)=0

⇒ 2sinx.cosx. ( 2cosx- 1) = 0

⇒ sin2x. (2cosx- 1) = 0

+ Trường hợp 1. Nếu sin2x=0 ⇒ 2x=k.π nên x = kπ/2

+ trường hợp 2. Nếu 2cosx- 1 ⇒ cosx = 1/2 = cos π/3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là kπ/2; π/3+k2π và (-π)/3+k2π

Chọn A.

Ví dụ 14: Nghiệm của phương trình sinx.cosx =1 là:

A. x=k2π .

B. x=π/4 +kπ.

C. Phương trình vô nghiệm

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sinx. cosx= 1 ⇒ 2sinx.cosx= 2

⇒ sin2x= 2 ( vô lí vì với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Nghiệm của phương trình sinx. cosx= cos(π/2-2x) là:

A. x=kπ

B. x=kπ/2

c. x=kπ/8

D.x=kπ/4

A. x= kπ

B. x= kπ/4

C. x= kπ/2

D. Đáp án khác

Câu 3:Tìm nghiệm của phương trình của phương trình 

A.

B.

C.

D.

Câu 4:Giải phương trình sin⁴x + cos⁴ x= 3/4

A.

B.

C.

D.

Câu 5:Phương trình  có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Câu 6:Nghiệm của phương trình sin 3x. cos 2x= 1/2 sin 5x

A.

B.

C.

D. x=kπ

Câu 7:Giải phương trình cos 4x+ cos 6x= cosx

A.

B.

C.

D.

Câu 8:Giải phương trình  có các nghiệm là;

A.

B.

C.

D.

Câu 9:Nghiệm của phương trình  là :

A.

B.

C.

D.

Câu 10:Phương trình (2sinx+1).(4cosx- 4)=0 có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Câu 11:Tất cả các nghiệm của phương trình  là

A.

B.

C.

D.

Câu 12:Giải phương trình 2sinx.cosx.(1+tanx).(1+cotx)= 2

A. x= k.π

B. x= k2π .

C. x= kπ/2.

D. Phương trình vô nghiệm