Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

+ Để giải phương trình trên khoảng (a;b) ( hoặc trên đoạn) thì ta cần:

   • Bước 1. Tìm họ nghiệm của phương trình đã cho.

   • Bước 2. Giải bất phương trình:

⇒ Các giá trị nguyên của k=... ⇒ các nghiệm của phương trình trong khoảng ( đoạn ) đã cho.

+ Để giải bất phương trình có chứa điều kiện ta cần:

   • Bươc 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình ( nếu có).

   • Bước 2.Biến đổi phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

   • Bước 3. Giải phương trình lượng giác cơ bản

   • Bước 4. Kết hợp với điều kiện xác định ⇒ nghiệm của phương trình .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nghiệm của phương trình: tanx = 1 trên đoạn (0; 180⁰ )

A. 45⁰; 135⁰

B. 135⁰

C. 45⁰

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có; tanx = 1 ⇔ tanx = 45⁰

⇔ x= 45⁰+ k.180⁰ với k∈ Z.

+Để 0⁰ < x < 180⁰ thì 0⁰ < 45⁰+ k. 180⁰ < 180⁰

⇔ - 45⁰ < k.180⁰ < 135⁰

⇔ (- 45)/180 < k < 135/180

Mà k nguyên nên k= 1. Khi đó;x= 45⁰

Vậy phương trình tanx= 1 có một nghiệm thuộc khoảng (0⁰; 180⁰)

Chọn C.

Ví dụ 2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cosx = sinx trên đoạn [0;π]

A. 3π/4

B. π/2

C. π/4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cosx = sinx ⇒ cos x= cos( π/2-x)

⇔ x= π/4+kπ

Xét các nghiệm trên đoạn [0; π] ta có:

0 < π/4+kπ < π ⇔ - π/4 < kπ < 3π/4

⇔ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= π/4

Chọn C.

Ví dụ 3. Cho phương trình tan(x+ π/3) = √3. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0; 6π ) .

A. 3

B.4

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có: tan(x+ π/3) = √3 ⇔ tan(x+ π/3) = tan π/3

⇒ x+ π/3= π/3+kπ ⇒ x= kπ với k nguyên

Xét các nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 6π) thỏa mãn:

0 < kπ < 6π < ⇒ 0 < k < 6

Do k nguyên nên k∈{ 1;2;3;4;5}

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên(0; 6π) là 5.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho phương trình cos(x+ 30⁰) = cos( x + 90⁰) . Tính số nghiệm của phương trình trên đoạn [180⁰; 630⁰]

A.3

B.2

C. 4

D. 5

Lời giải

Ta có: cos(x+ 30⁰) = cos(x+ 90⁰)

Các nghiệm của phương trình trên đoạn[ 180⁰; 630⁰] thỏa mãn:

⇔ 180⁰ ≤ 30⁰+k180⁰ ≤ 630⁰

⇔ 150⁰ ≤ k180⁰ ≤ 600⁰ ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 10/3

Mà k nguyên nên k∈ { 1; 2; 3}

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên [180⁰; 630⁰] là 3

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho phương trình cot(x- 30⁰) = tanx. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( - 270⁰; 0⁰)

A.4

B. 3

C. 5

D.2

Lời giải

Ta có: cot(x- 30⁰)= tanx ⇔ cot( x- 30⁰) =cot( 90⁰- x)

⇔ x- 30⁰ = 90⁰ – x+ k.180⁰

⇔ 2x= 120⁰ + k.180⁰ ⇔ x= 60⁰ + k. 180⁰

Các nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (-270⁰; 0⁰) thỏa mãn:

- 270⁰ < 60⁰+ k.180⁰ < 0⁰

⇔ -330⁰ < k.180⁰ < - 60⁰

⇔ (- 33)/18 < k < (-1)/3

Mà k nguyên nên k∈ {-2; -1}

Vậy có hai nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng( -270⁰; 0⁰)

Chọn D.

Ví dụ 6. Cho phương trình: √3cos⁡x+m-1=0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:

A.m < 1-√3 .

B.m > 1+√3 .

C.1-√3≤ m ≤1+√3 .

D. -√3 ≤m≤ √3 .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có: có nghiệm khi và chỉ khi :

Ta có:

Ví dụ 7. Cho phương trình sin( x+ π/6)= 1/2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0; π]

A. π/6

B. π/3

C. x= 4π/3

D. x= 2π/3

Lời giải

Ta có: sin( x+ π/6)= 1/2 ⇒ sin( x+ π/6)= sin π/6

+ Xét họ nghiệm x= k2π. Ta có:

0 ≤ k2π ≤ π ⇒ 0 ≤ k ≤ 1/2

Mà k nguyên nên k= 0 . Khi đó; nghiệm của phương trình là x= 0

+ Xét họ nghiệm x=2π/3+k2π . Ta có:

0 ≤ 2π/3+ k2π ≤ π ⇔ (- 2)/3 ≤ k ≤ 1/6

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= 2π/3

Vậy trên đoạn [0; π] phương trình đã cho có 2 nghiệm là x= 0 và x= 2π/3

⇒ Tổng hai nghiệm là 2π/3

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho phương trình tan ( x+ 45⁰ )= √3. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰ ;360⁰ )

A. 175⁰

B.195⁰

C. 215⁰

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: tan(x+ 45⁰ ) = √3 ⇔ tan(x+ 45⁰ ) = tan 60⁰

⇔ x+ 45⁰ =60⁰ + k.180⁰

< x= 15⁰ +k.180⁰

Các nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰ ; 360⁰ ) thỏa mãn:

90⁰ < 15⁰ + k.180⁰ < 360⁰

< 75⁰ < k.180⁰ < 345⁰

< 75/180 < k < 345/180

Mà k nguyên nên k= 1

Với k = 1 ta có x= 195⁰

Chọn B.

Ví dụ 9. Cho phương trình sinx = 0.Biết số nghiệm của phương trình trên khoảng (0⁰; a⁰) là 3. Tìm điều kiện của a.

A. a > 540

B. a > 360

C.a > 270

D. a > 630

Lời giải

Ta có: sinx=0 ⇒ x= k.180⁰ với k nguyên

Ta xét số nghiệm cua phương trình trên khoảng (0⁰; a⁰)

0⁰ < k.180⁰ < a⁰

⇒ 0 < k < a/180 (1)

Do phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng (0⁰;a⁰) nên k∈{1;2;3} (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a/180 > 3 ⇔ a > 540

Vậy điều kiện của a là a > 540.

Chọn A.

Ví dụ 10. Số nghiệm của phương trình tanx= tan3π/11 trên khoảng( π/4;2π) là?

A. 1

B.2

C. 3

D. 4

Lời Giải.

Chọn B.

Ta có tanx = tan(3π/11) ⇔ x=3π/11+kπ k∈Z

Do x∈( π/4;2π) nên π/4 < 3π/11+kπ < 2π

⇔ 1/4 < 3/11+k < 2 ⇔ (- 1)/44 < k < 19/11

Mà k nguyên nên k ∈{ 0;1}

Tương ứng với hai giá trị của k cho ta hai nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ví dụ 11. Số nghiệm của phương trình: sin ( x- π/4)=(- 1)/√2 với là:

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Chọn D

Ta có: sin(x- π/4)=(- 1)/√2 ⇒ sin(x- π/4)=sin⁡(- π/4)

+ Xét họ nghiệm x = k2π với π ≤ x ≤ 5π

⇒ π ≤ k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2

Mà k nguyên nên k=1 hoặc k= 2

⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .

+ Xét họ nghiệm x= 3π/2+k2π với π ≤ x ≤ 5π

⇒ π ≤ 3π/2+k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2

Vì k nguyên nên k∈{0;1}.

⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm của x thỏa mãn điều kiện .

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Chọn D.

Ví dụ 12. Số nghiệm của phương trình: cos⁡(x+π/3)= √2/2 với 0 ≤ x ≤ 2π là:

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải

Chọn D

Ta có: cos⁡(x+π/3)= √2/2 ⇒ cos⁡(x+π/3)= cos π/4

+ Xét họ nghiệm: x= -π/12+k2π

Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -π/12+k2π ≤ 2π

⇔ π/12 ≤ k2π ≤ 25π/12 ⇔ 1/24 ≤ k ≤ 25/24

Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 23π/12

+ Xét họ nghiệm x= -7π/12+k2π

Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -7π/12+k2π ≤ 2π

⇔ 7π/12 ≤ k2π ≤ 31π/12 ⇔ 7/24 ≤ k ≤ 31/24

Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 17π/12

Vậy phương trình có hai nghiệm 0 ≤ x ≤ 2π là: x= 23π/12 và x= 17π/12

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi m là

A.-1≤m≤1 .

B.m≤0 .

C.m≥-2 .

D.-2≤m≤0 .

Câu 2:Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x + cos5x=0 theo thứ tự là:

A.

B.

C.

D.

Câu 3:Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên

A. 7π/18

B. 4π/18

C. 47π/8

D. 47π/18

Câu 4:Trong nửa khoảng , phương trình cos2x+ sinx=0 có tập nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Câu 5:Cho phương trình √6 sinx- (3√2)/2=0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 4π) ?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Câu 6:Cho phương trình sin(x+ 10⁰) = cos( x- 20⁰). Tìm số nghiêm của phương trình trên khoảng (90⁰ ; 360⁰)?

A.0

B.1

C.2

D.4

Câu 7:Tìm số nghiệm của phương trình sinx= cos ( 2x- 30⁰) trên khoảng ( 60⁰; 360⁰)

A.0

B.2

C.3

D.1

Câu 8: Cho phương trình: √6 cot⁡(π/2-x)+ √2=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π) ?

A. 2

B.3

C .4

D. 5

Câu 9:Cho phương trình sinx + √3.sin π/6=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 4π;10π) ?

A. 5

B. 6

C. 7

D . 4 Lời giải