Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u1; công sai là d. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: 

+ Ngoài ra; ta còn có 1 cách tính khác là: 

+ Chú ý: Cho dãy số (u_n) là cấp số cộng có công sai d. Cho x và y là hai số hạng của cấp số cộng. Khi đó từ x đến y có số số hạng là: 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho (u_n) là cấp số cộng và S_m = S_n với m ≠ n.Tính S_m+n

A. 0     B. S_m − S_n

C. S_n − S_m     D. S_n + S_m

Hướng dẫn giải:

* Ta có: 

Do S_m = S_n với m ≠ n nên ta có:

* Ta có:  (do (*)

Chọn A.

Ví dụ 2: Tính tổng sau: S = 2 + 4 + 6 + ...+ (2n − 2) + 2n

Hướng dẫn giải:

Ta có dãy số 2, 4, 6,.., 2n − 2, 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u₁ = 2, số hạng tổng quát u_n= 2 + 2(n-1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

Chọn B.

Ví dụ 3: Gọi  Khi đó S₂₀ có giá trị là

A. 34     B. 30,5

C. 325    D. 32,5

Hướng dẫn giải:

Có

Chọn D

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) có d = –2; S₈ = 72. Tính u₁ ?

A. u₁ = 16    B. u₁ =- 16

C. u₁ = 8    D. u₁ = - 4

Hướng dẫn giải:

* Ta có:

* Lại có: u₈ = u₁ + 7d => u₈ – u₁ = 7d = -14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

Chọn A.

Ví dụ 5: Cho dãy số (u_n) là một cấp số cộng có u₁ = -1; d = 2 và S_n= 483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?

A. n = 20    B. n= 21

C. n= 22    D. n= 23.

Hướng dẫn giải:

Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số cộng .

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có :

Từ (1) suy ra :  thế vào (2) ta được

Đặt  khi đó phương trình (*) trở thành:

* Với  thì 

Với 

Với 

* Với t = 1 => d² = 1 ⇔ d= ±1

Với 

Với 

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u₁ thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: u₄ + u₈ + u₁₁ + u₁₇ = 100. Tính S₁₉

A. 475     B. 500

C. 1000     D. 750

Hướng dẫn giải:

* Theo giả thiết ta có:

* Do đó: 

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn:  . Tính tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.

A. 63     B. 67

C. 75     D. 81

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

=> Tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính 

Hướng dẫn giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có:

Chọn D.

Ví dụ 10: Cho cấp số cộng (u_n) có u₅ = −10 và u₁₅ = 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

A. S₂₀ = 560    B. S₂₀ = 480

C. S₂₀ = 570    D. S₂₀ = 475

Hướng dẫn giải:

Ta có: 

Theo giả thiết ta có: 

Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

Chọn C.

Ví dụ 11: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tính tổng S = u₅ + u₆ + ..+ u₃₀

A. – 1243     B. -1235

C. – 1345     D. - 1450

Hướng dẫn giải:

* Từ giả thiết bài toán, ta có:

* Ta có: u₅; u₆; ...; u₃₀ là cấp số cộng có 26 số hạng; số hạng đầu là u₅ = 2 + 4.(-3) = -10; công sai d = -3

=> Tổng 

Chọn B.

Ví dụ 12: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300. Tính u₉ + u₈

A. 50     B. 150

C.75     D. 100

Hướng dẫn giải:

*Theo giả thiết ta có:

u₂ + u₃ + u₇ + u₁₀ + u₁₂ + u₁₇ = 300

⇔ u₁ + d + u₁ + 2d + u₁ + 6d + u₁ + 9d + u₁ +11d+ u₁ + 16d = 300

⇔ 6u₁ + 45d = 300 ⇔ 2u₁ + 15d = 100

* Do đó; 

Chọn D.

Ví dụ 13: Cho cấp số cộng (u_n) có công sai d = 1 và u₂² − 2u₃² − u₄² đạt giá trị lớn nhất. Tính tổng S₂₀ của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó.

A.120    B. 125

C.130    D.135

Hướng dẫn giải:

Đặt a = u₁ thì

với mọi a.

Dấu bằng xảy ra khi a + 3 = 0 ⇔ a = −3.

Suy ra u₁ = −3.

Ta có .

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tính S = u₁ + u₄ + u₇ +..+ u₂₀₁₁ .

A. S = 2023 736    B. S = 2534134

C. S = 673044    D. S = 2198 650

Câu 2: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tính tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng là :

A. −565    B. −530

C. −652    D. −285

Câu 3: Cho (u_n) là cấp số cộng. Đặt S_n = m; S_n = m với (m ≠ n). Tính S_m+n

A. – m- n     B.n+ m

C .2n+2m     D.n.m

Câu 4: Tính tổng sau: S = 100² − 99² + 98² − 97² + ..+ 2² − 1²

A. 5000    B.5050

C.5100    D. 5150

Câu 5: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: . Tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.

A. 10    B. 5

C. 8    D.0

Câu 6: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂ + u₂₂ = 20. Tính S₂₃?

A. 120     B. 230

C. 150     D. 200

Câu 7: Cho (u_n) là cấp số cộng thỏa mãn: u₂₁ + u₅₉ = 30. Tính u₂₀ + u₅₉ + u₁₅₈ + 3u₁

A.90     B.120

C.150     D. 180

Câu 8: Cho cấp số cộng: −4; −8; −12; −16...Tìm công sai của cấp số cộng và tổng của 10 số hạng đầu tiên?

A.110    B. -220

C.220    D. -110

Câu 9: Cho dãy số (u_n) có d = 1; S₅ = 65. Tính u₂?

A. 12     B. 13

C. 14     D.10

Câu 10: Cho cấp số cộng có tổng của n số hạng đầu tiên được tính bởi công thức S_n = 4n − n². Gọi M là tổng của số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng đó. Khi đó :

A. M = 7    B. M= 4

C. M=- 1    D. M= 1

Câu 11: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn . Tính tổng S= u₅ + u₇ + ..+ u₂₀₁₁

A. S = 3028760    B. S = 3420198

C. S = 3034088    D. S = 3298701

Câu 12: Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn: . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng .

Câu 13: Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây; hàng thứ 2 có 2 cây; hàng thứ 3 có 3 cây...hỏi có bao nhiêu hàng?

A.76     B.77

C.78     D.79