Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng trục cực hay

A. Phương pháp giải

Cách 1. Sử dụng tính chất của phép đối xứng trục

Cách 2. Sử dụng biểu thức tọa độ đối với phép đối xứng qua trục Ox hoặc Oy

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d) có phương trình x + y-7 = 0 và đường thẳng (Δ) có phương trình 2x - y - 2 = 0. Phương trình đường thẳng (d') là ảnh của đường thẳng (d) qua phép đối xứng trục (Δ) là

Hướng dẫn giải:

• Gọi M = (d)∩(Δ) khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ: 

Lấy N(1;6) ∈ (d).

• Gọi (d₁) là đường thẳng qua N và vuông góc với (Δ), khi đó: (d₁): x + 2y + c = 0

N(1;6) ∈ (d₁) ⇒ 1 + 2.6 + c = 0 ⇒ c = -13 ⇒ (d₁): x + 2y - 13 = 0

• Gọi I = (d₁)∩(Δ) khi đó tọa độ của I là nghiệm của hệ: 

• Gọi N' là ảnh của N qua phép đối xứng trục (Δ) ⇒ I là trung điểm của NN' nên suy ra: 

• (d') là ảnh của đường thẳng (d) qua phép đối xứng trục (Δ)

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y - 3 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Trục Ox có phương trình y = 0.

• Tọa độ giao điểm A của d và Ox là nghiệm của hệ 

• Vì A ∈ Ox nên qua phép đối xứng trục Ox biến thành chính nó, tức A'≡A(3;0).

Chọn điểm 

• Gọi đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox khi đó d’ đi qua hai điểm A'(3;0) và B'(1;-2)

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 7x + y - 3 = 0. Tìm ảnh của Δ qua phép đối xứng trục Oy.

Hướng dẫn giải:

(Sử dụng biểu thức tọa độ)

Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục tung là 

Thay vào Δ, ta được 7(-x') + y' - 3 = 0 hay 7x' - y' + 3 = 0.

Vậy ảnh của Δlà: Δ': 7x - y + 3 = 0

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi a là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Ta xét đường thẳng Δ:3x - 4y + 5 = 0. Phép đối xứng trục Đ_a biến đường thẳng Δ thành đường thẳng Δ' có phương trình là:

A. 4x - 3y - 5 = 0.

B. 3x + 4y - 5 = 0.

C. 4x - 3y + 5 = 0.

D. 3x + 4y + 5 = 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x - y - 2 = 0. Ảnh của d qua phép đối xứng trục tung có phương trình:

A. x - y + 2 = 0.

B. x + y + 2 = 0.

C. x + y - 2 = 0.

D. x + 2y-2 = 0.

Câu 3. Cho hai đường thẳng cắt nhau d và d'. Có bao nhiêu phép đối xứng trục biến d thành d'?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x + 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của dqua phép đối xứng trục Ox.

A. d': 2x - 2y + 4 = 0.

B. d': x - 2y + 2 = 0.

C. d': 3x - 2y + 4 = 0.

D. d': x - 2y + 4 = 0.

Câu 5. Cho đường thẳng (d) có phương trình 4x + 3y - 5 = 0 và đường thẳng (Δ) có phương trình x + 2y - 5 = 0. Phương trình đường thẳng (d') là ảnh của đường thẳng (d) qua phép đối xứng trục (Δ) là

A. x - 3 = 0.

B. 3x + y - 1 = 0.

C. 3x + 2y - 5 = 0.

D. y - 3 = 0.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Ox có phương trình là:

A. x - y - 2 = 0.

B. x + y + 2 = 0.

C. -x + y - 2 = 0.

D. x - y + 2 = 0.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 5x + y - 3 = 0. Đường thẳng đối xứng của Δ qua trục tung có phương trình là:

A. 5x + y + 3 = 0.

B. 5x - y + 3 = 0.

C. x + 5y + 3 = 0.

D. x - 5y + 3 = 0.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x + y - 1 = 0. Qua phép đối xứng trục Δ: 2x - y + 1 = 0, đường thẳng d biến thành đường thẳng d' có phương trình là:

A. 3x - y + 1 = 0.

B. x + 3y - 3 = 0.

C. x - 3y + 3 = 0.

D. x + 3y + 1 = 0.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ: 3x - 5y + 9 = 0, phép đối xứng trục Ox biến đường thẳng Δ thành đường thẳng Δ' có phương trình là

A. -3x + 5y - 9 = 0.

B. 3x + 5y - 9 = 0.

C. 3x + 5y + 9 = 0.

D. -3x + 5y + 9 = 0.

Câu 10. Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0, d₁: x + 2y - 3 = 0. Tìm ảnh của d₁ qua phép đối xứng trục d.

A. d₁': x + y - 3 = 0.

B. d₁': 2x + 2y - 3 = 0.

C. d₁': 2x + 2y - 1 = 0.

D. d₁': 2x + y - 3 = 0.