Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng tâm cực hay

A. Phương pháp giải

[1]. PP1: Sử dụng tính chất: Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Bước 1. Xác định tâm I , bán kính R của (C)

Bước 2. Tìm ảnh I’ của tâm I qua phép đối xứng tâm

Bước 3. Viết phương trình đường tròn có tâm I’ và bán kính R’=R

[2]. PP2: Sử dụng biểu thức tọa độ (Phương pháp quỹ tích)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh của đường trònx² + (y – 2)² = 4. qua phép đối xứng tâm I(-2;-1):

Hướng dẫn giải:

Đường tròn có tâm O(0,2), bán kính r = 2

Gọi O' là ảnh của O qua phép đối xứng tâm I khi đó ta có

x_O' = 2x_I - x_O = -4; y_O' ⁡ = 2y_I - y_O = -4 ⇒ O'(-4;-4)

Như vậy ảnh của đường tròn qua phép đối xứng tâm là: (x + 4)² + (y + 4)² = 4

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): (x - 5)² + (y + 3)² = 16 qua phép đối xứng tâm O(0;0).

Hướng dẫn giải:

Gọi I' là điểm đối xứng của I(5;-3) qua tâm O(0;0), suy ra I'(-5;3).

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách nên R' = R = 4

Vậy đường tròn (C') có tâm I'(-5;3), bán kính R' = 3 nên (C'): (x + 5)² + (y - 3)² = 16

Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O(0;0) là 

Thay vào (C) ta được (-x' - 5)² + (-y' + 3)² = 16 ⇔ (x' + 5)² + (y' - 3)² = 16.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (O;R): x² + y² + 2x - 6y + 6 = 0 điểm I(1;2). Tìm ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I

Hướng dẫn giải:

Gọi M(x;y) là điểm bất kỳ thuộc (O;R) và (E). Từ công thức chuyển trục ta có:

 (2 - x')² + (4 - y')² + 2(2 - x') - 6(4 - y') + 6 = 0

⇔ x'² + y'² - 6x' - 2y' + 6 = 0

⇔ x² + y² - 6x - 2y + 6 = 0

Cách 2. x² + y² + 2x - 6y + 6 = 0 có tâm J(-1;3), R = 2

Ta chỉ tìm J’(x;y) là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1;2) bằng công thức chuyển trục tọa độ: 

Do đó (O’): (x - 3)² + (y - 1)² = 4 là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): x² + y² = 1 qua phép đối xứng tâm I(1;0).

A. (C'): (x - 2)² + y² = 1.

B. (C'): (x + 2)² + y² = 1.

C. (C'): x² + (y + 2)² = 1.

D. (C'): x² + (y - 2)² = 1.

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I biến đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 16 thành đường tròn(C'): (x + 3)² + (y – 10)² = 16 tìm tọa độ tâm I

A. I(-2;6)

B. I(2;6).

C. I(-2;-6).

D. I(6;-2).

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C) và (C') có phương trình lần lượt là x² + y² - 4x - 4y + 7 = 0 và x² + y² - 12x - 8y + 51 = 0. Xét phép đối xứng tâm I biến (C) và (C'). Tìm tọa độ tâm I.

A. I(2;3).

B. I(1;0).

C. I(8;6).

D. I(4;3).

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C). Biết (C')là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).

và Biết (C'): (x - 7)² + (y+9)² = 25

A. (C): (x + 7)² + (y-9)² = 25

B. (C): (x - 7)² + (y-9)² = 25

C. (C): (x + 7)² + (y+9)² = 25

D. (C): (x + 7)² + (y-9)² = 5

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I(–1;2) biến đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 4 thành đường tròn nào sau đây:

A. (C'): (x + 1)² + (y – 2)² = 4.

B. (C'): (x – 1)² + (y – 2)² = 4.

C. (C'): (x + 1)² + (y + 2)² = 4.

D. (C'): (x – 2)² + (y + 2)² = 4.

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I(–2;3) biến đường tròn (C): (x + 3)² + (y – 5)² = 9 thành đường tròn nào sau đây:

A. (C'): (x + 1)² + (y – 1)² = 9.

B. (C'): (x + 1)² + (y + 1)² = 9.

C. (C'): (x + 1)² + (y – 1)² = 3.

D. (C'): (x - 1)² + (y – 1)² = 9.

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ (Oxy). Cho phép đối xứng tâm I(1/2;2) biến đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 2)² = 4 thành đường tròn (C') có phương trình là:

A. (x + 1)² + (y - 2)² = 4.

B. (x - 1)² + (y - 2)² = 4.

C. (x + 1)² + (y + 2)² = 4.

D. (x - 2)² + (y - 2)² = 4.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): (x - 3)² + (y + 1)² = 9 qua phép đối xứng tâm O(0;0).

A. (C'): (x - 3)² + (y + 1)² = 9.

B. (C'): (x + 3)² + (y + 1)² = 9.

C. (C'): (x - 3)² + (y - 1)² = 9.

D. (C'): (x + 3)² + (y - 1)² = 9.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm phương trình đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C): (x - 7)² + (y + 5)² = 36 qua phép đối xứng tâm O(0;0).

A. (C'): (x + 7)² + (y - 5)² = 36

B. (C'): (x + 7)² + (y + 5)² = 36

C. (C'): (x - 7)² + (y - 5)² = 36

D. (C'): (x + 7)² + (y - 5)² = 6

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 3)² = 16. Giả sử phép đối xứng tâm I biến điểm A(1;3) thành điểm B(a;b). Tìm phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm I.

A. (C'): (x - a)² + (y - b)² = 1.

B. (C'): (x - a)² + (y - b)² = 4.

C. (C'): (x - a)² + (y - b)² = 9.

D. (C'): (x - a)² + (y - b)² = 16.