Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm

A. Phương pháp giải

+ Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 ( với a ≠ 0) có nghiệm nếu:

- 1 ≤ sinx( hoặc cosx) ≤ 1.

+Xét phương trình a.sin² x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos² x+ b. cosx+ c= 0 ( với a ≠ 0) :

Đặt sinx= t ( hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành:

at² + bt + c= 0 (*)

để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình (*) có nghiệm t₀ và -1 ≤ t₀ ≤ 1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2(m-1)sinxcosx-(m-1)cos2x=m có nghiệm?

A.0≤m≤1

B.m > 1

C.0 < m < 1

D.m≤0

Lời giải

Ta có: sin2 x- 2(m -1) sinx. cosx – ( m – 1) cos2 x= m

Ta có: 

⇒ 1- cos2x -2 (m- 1) .sin2x- ( m- 1) . ( 1 + cos2x) = 2m

⇒ 1- cos2x -2(m-1)sin2x – m+ 1 – (m-1).cos2x – 2m= 0

⇒ -2(m -1) sin2x – mcos2x= 3m - 2

Phương trình có nghiệm

Ta có: 

Chọn A.

Ví dụ 2. Để phương trình: sin² x+2(m+1).sinx – 3m(m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Đặt t = sinx.

Điều kiện .

Phương trình trở thành: t² + 2(m+1).t – 3m(m- 2)= 0 (1).

Đặt f(t) = t² + 2(m+1)t – 3m(m- 2).

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1;1] khi phương trình (1) có một nghiệm thuộc [-1;1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1;1]

Chọn B.

Ví dụ 3: Để phương trình  có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Phương trình (1) trở thành 3t²+ 4at – 4= 0 (2).

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn .

Xét phương trình (2), ta có:

nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Chọn D.

Ví dụ 4. Cho phương trình 2sinx+ cos90⁰ = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. - 2 ≤ m ≤ 2

B. - 1 ≤ m ≤ 1

C. - 4 ≤ m ≤ 4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2sinx+ cos90⁰= m

⇒ 2sinx + 0= m

⇒ sinx= m/2 (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2

Chọn A.

Ví dụ 5. Cho phương trình: 4(sin⁴ x + cos⁴ x ) -8(sin⁶ x + cos⁶ x) -4sin² 4x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A. .

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có:

+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.

(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả t₀ thuộc [-1;1] .

Chọn D.

Ví dụ 6. Cho phương trình cos(x-30⁰) + sin( x+ 60⁰)= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 1 ≤ m ≤ 1

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos(x- 30⁰) - sin(x+ 60⁰) + sinx = m

⇒ cosx . cos30⁰+ sinx. sin30⁰ - sinx. cos60⁰ - cosx. sin60⁰ + sinx= m

⇒ sinx= m (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn C.

Ví dụ 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:  có nghiệm

A. 2

B.4

C. 3

D.1

Lơì giải

Ta có: 

⇒ sinx - 2sinx = m

⇒ - sinx = m ⇒ sinx= - m

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ m∈{ -1;0;1}

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho phương trình cos⁶ x + sin⁶ x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1/4 ≤ m ≤ 1

B. 1/2 ≤ m ≤ 1

C. 1/2 ≤ m ≤ 2

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos⁶ x + sin⁶ x= m

⇒ (cos² x+ sin² x) . (cos⁴ x – cos²x. sin² x+ sin⁴ x) =m

⇒ 1.[ (cos²x+ sin² x)² – 3.cos² x. sin² x= m

Với mõi ta a luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin² 2x ≤ 1

Do đó; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình cos( x+ y) – cos( x-y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. -3 ≤ m ≤ 1

B. -2 ≤ m ≤ 2

C. – 3 ≤ m ≤ 1

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Câu 2:Cho phương trình sin⁶ x- cos⁶ x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a+ b

A. – 2

B. -1

C. 0

D. 1

Câu 3:Để phương trình  có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:

A. -1 ≤ m < -1/4

B. -2 ≤ m ≤ -1

C.0 ≤ m ≤ 2

D.(- 1)/4 ≤ m ≤ 0

Câu 4: Để phương trình:  có nghiệm, tham số a phải thỏa điều kiện:

A.- 1 ≤ a ≤ 0 .

B. - 2 ≤ a ≤ 2.

C. - 1/2 ≤ m ≤ 1/4.

D. - 2 ≤ m ≤ 0

Câu 5:Cho phương trình: , trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A.

B.

C.

D.

Câu 6:Cho phương trình cos( 90⁰- x)+ sin( 180⁰- x) + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 3

B. 4

C. 2

D .5

Câu 7:Cho phương trình: sin² x+ (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.

A.m > 2

B. m < 1

C. 1 < m < 10

D.Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Câu 8:Cho phương trình: cosx. sinx – 2m– 2sinx+ m.cosx= 0.Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 2 ≤ m ≤ 1

D. -1 ≤ m ≤ 1

Câu 9:Cho phương trình cos2x+ 4cosx+ m= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -7 ≤ m ≤ 1

B. -5 ≤ m ≤ 2

C. – 6 ≤ m ≤ 2

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Câu 10:Cho phương trình sin2x+ 2sin² x+ 4cos² x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -3√2 ≤ m ≤ 3√2

B. 3- √2 ≤ m ≤ √2+3

C. 2- √2 ≤ m ≤ √2+2

D. -2√2 ≤ m ≤ 2√2