Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Với Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên Toán học lớp 11 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên.
Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Ta sử dụng phương pháp chung và một số lưu ý sau:
Khi lập một số tự nhiên 
ta cần lưu ý:
* ai ∈ {0,1,2,…,9} và a1 ≠ 0.
* x là số chẵn ⇔ an là số chẵn.
* x là số lẻ ⇔ an là số lẻ.
* x chia hết cho 3 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 3.
* x chia hết cho 4 ⇔ 
chia hết cho 4.
* x chia hết cho 5 ⇔ an=0 hoặc an=5.
* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3.
* x chia hết cho 8 ⇔ 
chia hết cho 8.
* x chia hết cho 9 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 9.
* x chia hết cho 11⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.
* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}.
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d,e,f,g,h ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8} là số cần tìm.
Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên h ∈ {1,3,7} nên h có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là: 7.6.5.4.3.2.1
Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 2: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d ∈ {0,1,2,4,5,6,8}, a ≠ 0.
Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}.
TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.
Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.
TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}\{d}.
Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.
Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.
Bài 3: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}, a ≠ 0.
Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}.
Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a}.
Với mỗi cách chọn a,b ta có 5 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b}.
Với mỗi cách chọn a,b, c ta có 4 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,c}.
Vậy có 6.6.5.4 = 720 số cần lập.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho tập hợp số A = {0,1,2,3,4,5,6}. Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Lời giải:
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6},{0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, {1,3,5,6}.
Vậy số các số cần lập là: 4(4! – 3!) + 3.4! = 144 số.
Bài 2: Có bao nhiêu số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho 10?
Lời giải:
a,b,c,d,e là các chữ số, a ≠ 0.
Vì x chia hết cho 10 nên e = 0, vậy e có 1 cách chọn.
Chọn a có 9 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Chọn b có 10 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Chọn c có 10 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Chọn d có 10 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Vậy số các số cần lập là 1.9.10.10.10 = 9000 số.
Bài 3: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu chẵn và chữ số đứng cuối lẻ.
Lời giải:
Với a, b, c, d, e, f, g, h ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} là số cần tìm.
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a có 4 cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên h có 4 cách chọn.
Với mỗi cách chọn a và h thì sẽ có 6 cách chọn b; 5 cách chọn c; 4 cách chọn d, 3 cách chọn e; 2 cách chọn f và 1 cách chọn g.
Vậy có 4.4.6.5.4.3.2.1 = 11 520 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 4: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
Lời giải:
a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6},a ≠ 0
Vì x là số lẻ nên d ∈ {1,3,5} vậy d có 3 cách chọn.
Vì a ≠ 0 và với mỗi cách chọn d ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}\{d}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,d}.
Suy ra trong trường hợp này có 3.5.5.4 = 300 số.
Bài 5: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
Lời giải:
a,b,c,d,e ∈ {0,1,2,3,4,5,6},a ≠ 0 là số cần lập, e ∈ {0,5}.
TH1: e = 0 suy ra có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 6.5.4.3
Trường hợp này có 360 số
TH2: e = 5 suy ra e có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 5.5.4.3 = 300.
Trường hợp này có 300 số
Vậy có 660 số thỏa yêu cầu bài toán.
