Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

A. Phương pháp giải

   + Để chứng minh một đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) ta chứng minh a // b trong đó b ⊂ mp(P)

   + Để chứng minh hai đường thẳng song song ta dùng tính chất đường trung bình của tam giác ; đường trung bình của hình thang hay định lí Talet đảo

   + Định lí: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đôi một song song hoặc đồng quy

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD; Q thuộc cạnh AB sao cho AQ = 2QB; gọi P là trung điểm của AB Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // mp (BCD)

B. GQ // mp (BCD)

C. MN cắt (BCD)

D. Q thuộc mp(CDP)

Lời giải

Gọi M là trung điểm của BD

Vì G là trọng tâm tam giác ABD nên AG/AM = 2/3    (1)

Điểm Q thuộc AB thỏa mãn: AQ = 2QB nên AQ/AB = 2/3    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AG/AM = AQ/AB

⇒ GQ // BD (định lí Ta-let đảo)

Mặt khác BD nằm trong mặt phẳng (BCD) suy ra GQ // mp(BCD)

Chọn B

Ví dụ 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi O; O₁ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF; gọi M là trung điểm của CD. Khẳng định nào sau đây sai ?

A. OO₁ // mp (BEC)

B. OO₁ // mp (AFD)

C. OO₁ // mp (EFM)

D. MO₁ cắt mp (BEC)

Lời giải

   + Xét tam giác ACE có O; O1 lần lượt là trung điểm của AC; AE (tính chất hình hình hành)

Suy ra OO1 là đường trung bình trong tam giác ACE và OO₁ // EC.

Mà EC thuộc mp(BEC) và mp(EFC)

⇒ OO₁ // mp(BEC) và OO₁ // mp(EFC)

   + Tương tự; OO1 là đường trung bình của tam giác BFD nên OO₁ // FD

Mà FD nằm trong mp(AFD)

⇒ OO₁ // mp (AFD)

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. MN // mp (ABCD)

B. MN // mp (SAB)

C. MN // mp (SCD)

D. MN // mp (SBC)

Lời giải

Xét tam giác SAC có M; N lần lượt là trung điểm của SA; SC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAC

Suy ra: MN // AC mà AC ⊂ mp(ABCD) nên MN // mp (ABCD)

Chọn A

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M và N là hai điểm trên SA; SB sao cho: SM/SA = SN/SB = 1/3. Vị trí tương đối giữa MN và (ABCD) là:

A. MN nằm trên mp(ABCD)

B. MN cắt mp(ABCD)

C. MN song song mp(ABCD)

D. MN và mp(ABCD) chéo nhau

Lời giải

Theo định lí Talet, ta có: SM/SA = SN/SB suy ra MN song song với AB

Mà AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) suy ra: MN // mp(ABCD)

Chọn C

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD; lấy điểm M trên cạnh AB sao cho: AM/AB = 1/4. Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho MN // mp(BCD). Tính tỉ số AN/NC?

A. 3           B. 1/3          C. 1/4          D. 4

Lời giải

   + Từ MN // mp(BCD) ta chứng minh MN // BC

   + Thật vậy; giả sử MN cắt BC tại P

Mà BC ⊂ mp(BCD)

⇒ Đường thẳng MN cắt mp(BCD) tại P

⇒ mâu thuẫn với MN// mp(BCD)

Vậy MN // BC

   + Xét tam giác ABC có: MN // BC

Chọn B

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N; P; Q; R; S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC; BD; AB; CD; AD; BC. Bốn điểm nào sau đây không đồng phẳng?

A. P; Q; R; S

B. M; P; R; S

C. M; R; S; N

D. M; N; P; Q

Lời giải

   + Tam giác ABD có PS là đường trung bình nên PS // AB   (1)

   + Tam giác ABC có PQ là đường trung bình nên RQ // AB   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PS // RQ nên 4 điểm P; R; Q; S đồng phẳng

   + Tương tự, ta có được PM // NQ // BD

suy ra 4 điểm P; M; N; Q đồng phẳng.

   + Và NR // AD // MS suy ra M; R: N; S đồng phẳng

Chọn B

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC; gọi G₁; G₂ lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và SBC. Gọi M là trung điểm của SA. Đường thẳng nào song song với mp(ABC) ?

A. G₁M          B. G₂M            C. G₁G₂           D. G₁S

Lời giải

   + Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AC và BC.

   + Do G₁; G₂ lần lượt là trọng tâm tam giác SAC và SBC nên:

(SG₁)/SH = (SG₂)/SK = 2/3

⇒ G₁G₂ // HK

Mà HK ⊂ mp(ABC) nên G₁G₂ // mp(ABC)

Chọn C

Ví dụ 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M; N; P và Q lần lượt là trung điểm của AB; CD; SA và SD. Mặt phẳng nào song song với đường thẳng MN?

A. (PBA)         B. (QCD)         C. (PQB)          D. (QAB)

Lời giải

   + Xét mp (ABCD) có M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD

⇒ MN là đường trung bình của hình bình hành

⇒ MN // AD // BC    (1)

   + Xét mp(SAD) có P và Q lần lượt là trung điểm của SA và SD.

⇒ PQ là đường trunh bình của tam giác SAD.

⇒ PQ // AD    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: PQ // MN // AD // BC

⇒ MN // mp(PQB)

Chọn C

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng (α) qua BD và song song với SA, mặt phẳng (α) cắt SC tại K. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. SK = 2KC      B. SK = 3KC        C. SK = KC       D. SK = (1/2)KC

Câu 2: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Gọi mặt phẳng (α) qua và M song song với AB và CD. Mặt phẳng (α) cắt BC; BD; AD lần lượt tại N; P, Q. Tìm mệnh đề đúng?

A. PQ // mp(ABC)      B. MN // mp(ABD)     C. NP // (AQC)      D. PQ // BC

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = AB = a; SC = AC = 2a. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC và H là trực tâm tam giác SAB. Gọi M là trung điểm SA và N là trung điểm của BC. Tìm đường thẳng song song với mp(ABC)?

A. GH         B. HN        C. GM        D. HM

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD. Trong tam giác SAB có ∠SAB = 90°; SA = SB đường cao AH. Lấy điểm M trên cạnh SA sao cho: SM = 3MD. Trên cạnh SC lấy điểm N sao cho NC = 3NS. Gọi K là trung điểm của SD. Tìm đường thẳng song song với mp(ABCD).

A. HN        B. KM         C. MN        D. HK

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD. Trên các cạnh AD; AB; SB; SD lần lượt lấy các điểm M; N; P; Q sao cho MQ // NP và MQ = NP. Tìm mặt phẳng song song với đường thẳng PQ.

A. (SMD)

B. (PNC)

C. (DCN)

D. Không có mặt phẳng nào song song PQ

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB; CD và SA. Gọi giao tuyến của mp(MNP) và mp(SAD) là PQ (Q ∈ SD). Tìm mặt phẳng song song với SC?

A. (APQ)        B. (BMQ)        C. (PNB)         D. (PQN)

Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây SAI?

A. IO // mp(SAB)

B. IO // mp(SAD)

C. mp(IBD) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện là một tứ giác

D. (IBD) ∩ (SAC) = IO

Câu 8: Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁ và G₂ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD và ACD. Chọn mệnh đề sai:

A. G₁G₂ // (ABD)

B. G₁G₂ // (ABC)

C. BG₁, AG₂ và CD đồng quy

D. G₁G₂ = (2/3)AB