Tính đạo hàm của hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số :

Trong đó hàm số y= f(x) có đạo hàm tại các điểm mà hàm số xác định

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số: y= sin( x²- 3x) – tan(x²- 1)?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số: y= sin⁴ ( 6x-2)?

A. 4.sin³ ( 6x-2)

B. 4.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2)

C. 24.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2)

D. -24.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2)

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=4.sin³ ( 6x-2).[sin⁡( 6x-2) ]'

⇔ y'= 4.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2).( 6x-2)'

⇔ y'= 24.sin³ ( 6x-2).cos⁡( 6x-2)

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y= xsin(x+ 1)?

A. sin(x+ 1) + x. cos( x+ 1)        B. cos( x+ 1) – x.sin ( x+1)

C. – sin( x+ 1) + x.cos( x+ 1)        D. sin( x+ 1) – x.cos(x+ 1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

y'=( x' ).sin⁡(x+1)+ x.[sin⁡(x+1)]'

⇔ y'=1.sin⁡(x+1)+x.cos⁡(x+1 ) ( x+1)'

⇔ y'=sin⁡(x+1)+x.cos⁡( x+1).

Chọn A.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số: y= sin 8x+ cos 2x

A. cos8x – sin2x        B. 8 cos8x – 2sin 2x

C. 8.cos8x + 2sin2x        D. – cos8x + sin 2x

Hướng dẫn giải

Ta có: y'=( sin8x)'+(cos2x)'=8 cos⁡8x-2 sin⁡2x

Chọn B.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số: y=2 sin⁡( √(x²+4x)-1) ?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6.Tính đạo hàm của hàm số y= tan( 4x+ 1) – cot 2x?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số: y=tan⁡( √(x²+2x))

Hướng dẫn giải

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số y= sin (2x+ 8)?

A. 2 cos(2x+ 8)        B. cos( 2x+ 8)        C. –cos( 2x+ 8)        D. -2cos( 2x+ 8)

Hướng dẫn giải

+ áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có;

y'=cos⁡( 2x+8).( 2x+8)' = 2cos( 2x+ 8)

Chọn A.

Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số: y= cos( x²+ 7x- 9)?

A.- sin( x² + 7x- 9)        B.- sin ( x²+ 7x – 9)( x²+ 7x- 9)

C. – (2x+7). sin(x² + 7x- 9)        D. sin(x²+ 7x- 9)( 2x+7)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:

y'= -sin⁡(x²+7x-9).(x²+7x-9)' = - sin(x²+ 7x- 9).( 2x+ 7).

Chọn C.

Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số sau

Hướng dẫn giải

Ví dụ 111. Tính đạo hàm của hàm số y= sin( tanx)?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số lượng giác ta có;

Ví dụ 12.Tính đạo hàm của hàm số y= sin²x. cosx

A. 2cos²x – sin²x .cosx        B. - sinx. cos²x + sin³x

C. 2sinx. cos²x + sin³x        D. 2sinx. cos²x – sin³x

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và đạo hàm của một tích ta có:

y'=( sin² x)'.cosx+ sin² x( cosx)'

⇔ y'=2sinx.( sinx)'.cosx+ sin²x.(-sinx)

⇔ y'=2sinx.cosx.cosx- sin³ x = 2sinx. cos²x – sin³x

Chon D

Ví dụ 13. Tính đạo hàm của hàm số y= x/cosx

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một thương ta có:

Ví dụ 14. Tính đạo hàm của hàm số y= (x²+ 2x).cos x

A. ( 2x+2).cosx+( x²+2x).sinx B. ( 2x+2).cosx-( x²+2x)

C. ( 2x+2).cosx-( x²+2x).sinx D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:

y'=( x²+2x)'.cosx+( x²+2x).( cosx)'

⇔y'=( 2x+2).cosx-( x²+2x).sinx

Chọn C.

Ví dụ 15. Tính đạo hàm của hàm số y= (1- cos 2x) (2- sin3x)

A. y'=-2sin2x.( 2-sin3x)+3cos 3x( 1- cos2x)

B. y'=2sin2x.( 2-sin3x)-3cos 3x( 1- cos2x)

C. y'=2sin2x.( 2-sin3x)+3cos 3x( 1- cos2x)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có

y'=( 1-cos2x)'.( 2-sin3x)+( 1-cos2x).( 2-sin3x)'

⇔ y'=sin⁡2x.( 2x)'.( 2-sin3x)+( 1-cos2x).( -cos3x).( 3x)'

⇔ y'=2sin2x.( 2-sin3x)-3cos 3x( 1- cos2x)

Chọn B.

Ví dụ 16. Tính đạo hàm của hàm số:

Hướng dẫn giải

Ví dụ 17.Tính đạo hàm của hàm số y= ( 1+ tanx)⁴

Hướng dẫn giải

Ví dụ 18. Tính đạo hàm của hàm số y= √(sin⁡4x)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y= √u với u= sin4x ta có:

Ví dụ 19. Tính đạo hàm của hàm số y= √(cos⁡( x³- x²+2))?

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp y =√u với u= cos⁡( x³- x²+2) ta có

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm của hàm số: y= 3sin 2x - 4cos 6x

A. - 6 cos2x + 24 sin6x        B. 6cos2x + 24sin 6x

C. 6.cos2x + 2sin6x        D. 3cos2x + 4sin x

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số: y=4 sin⁡( √(2x+3)-x²+2x) ?

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số y= √(2x³+ x²-1) .sinx

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số y= 3tan(x² - 1) – 4cot 4x?

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số y= 1/cot⁡( x²+2x) ?

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số:

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số y= √(cos³ ( 2x+2) ) ?

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số y= 2cos(3cot 2x)?

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số y= sin( 2x- 3).cos( 8- 4x)

A. 2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)+2 sin⁡( 2x-3).sin⁡( 8-4x)

B. - 2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)-8 sin⁡( 2x-3).sin⁡( 8-4x)

C. - 2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)-4 sin⁡( 2x-3).sin( 8-4x)

D. 2 cos⁡( 2x-3).cos⁡( 8-4x)+4 sin⁡( 2x-3).sin( 8-4x)

Câu 12: Tính đạo hàm của hàm số y= ( 2x +cos x) ( cos2x- sin3x)?

A. ( 2- sin⁡x) .( cos2x-sin3x)+(2x+cosx).(2sin2x-3cos3x)

B. ( 2+ sin⁡x) .( cos2x-sin3x)+(2x+cosx).(- 2sin2x-3cos3x)

C. ( 2- sin⁡x) .( cos2x-sin3x)+(2x+cosx).(- 2sin2x-3cos3x)

D.Đáp án khác

Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số: y=tan⁡( √(2x²+x))+x -10

Câu 14: Tính đạo hàm của hàm số: y= sin[ (x- 1)( x+ 2) + 10] – tan(x³- x²)?

Câu 15: Tính đạo hàm của hàm số: y= sin³ ( √(4x+2))?

Câu 16: Tính đạo hàm của hàm số sau: y=sin⁡(x+1)/(x-2)

Câu 17: Tính đạo hàm của hàm số y= ( 2x+ 2) .sin( 2x- 3)?

A. sin⁡(2x-3)+2(2x+2).cos⁡( 2x-3).

B. 2sin⁡(2x-3)+(2x+2).cos⁡( 2x-3).

C. 2sin⁡(2x-3)-2(2x+2).cos⁡( 2x-3).

D. 2sin⁡(2x-3)+2(2x+2).cos⁡( 2x-3).

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số y= ( -cotx+ tanx)³

Câu 19: Tính đạo hàm của hàm số y= √(sin⁡(x³+ x²-x))

Câu 20: Tính đạo hàm của hàm số y= sin (x²+ 4x- 20)?x

A. ( 2x- 4) cos(x²+ 4x – 20 )        B. (x²+ 4x- 20). cos(x² +4x- 20)

C. (2x+ 4).cos( x²+ 4x- 20)        D. -2cos( x²+4x- 20)

Câu 21: Tính đạo hàm của hàm số: y= cos( x²+√x - 2)?

A. - sin(x²+ √x - 2).( 2x+ 1/(2√x)).        B.- sin ( x²+√x – 2)( x²+√x- 2)

C. – (2x+√x). sin(x² + √x- 2)        D. sin(x²+ 7x- 2)( 2x+ √x)