Cách xét Tính đơn điệu của hàm số lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

+ Hàm số y= sinx đồng biến trên mỗi khoảng ((- π)/2+k2π; π/2+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (( π)/2+k2π; 3π/2+k2π)với k ∈ Z.

+ Hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π+k2π ) với k ∈ Z.

+ Hàm số y= tanx đồng biến trên mỗi khoảng ((-π)/2+kπ; π/2+kπ) với k ∈ Z.

+ Hàm số y= cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ; π+ kπ)với k ∈ Z.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét hàm số y= sinx trên đoạn[-π;0].Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên các khoảng(-π;-π/2) và (-π/2;0) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-π;-π/2); nghịch biến trên khoảng (-π/2;0) .

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) ; đồng biến trên khoảng (-π/2;0) .

D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-π;-π/2) và (-π/2;0).

Lời giải:

Chọn C

Cách 1: Từ lý thuyết về các hàm số lượng giác cơ bản ở trên ta có hàm số y=sinx nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2;0)

Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.

Do ở đề bài, các phương án A, B, C, D chỉ xuất hiện hai khoảng là (-π;-π/2) và (-π/2;0)

nên ta sẽ dùng máy tính cầm tay chức năng MODE 7: TABLE để giải bài toán.

+ Ấn MODE → 7

Máy hiện F(X)= thì ta nhập sinX ⇒ START? Nhập -π END? Nhập 0 STEP? Nhập π/10

Lúc này từ bảng giá trị của hàm số ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng (-π;-π/2) và đồng biến trên khoảng (-π/2;0).

Ví dụ 2: Xét hàm số y= cosx trên đoạn [-π ; π]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng(-π ;0) và (0;π ).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-π ;0) và nghịch biến trên khoảng (0;π ) .

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-π ;0) và đồng biến trên khoảng (0;π ).

D. Hàm số luôn đồng biến trên các khoảng (-π ;0) và (0;π ).

Lời giải:

Chọn B

Theo lý thuyết ta có hàm số y= cosx đồng biến trên mỗi khoảng (-π+k2π;k2π ) và nghịch biến trên khoảng (k2π;π+k2π) k ∈ Z

Từ đây ta có với k=0 hàm số y= cosx đồng biến trên khoảng (-π ;0) và nghịch biến trên khoảng (0;π )

Ví dụ 3: Với k ∈ Z , kết luận nào sau đây về hàm số y= tan2x là sai?

A. Hàm số y= tan 2x tuần hoàn với chu kỳ T= π/2 .

B. Hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ/2;π/2+kπ/2) .

C. Hàm số y= tan2x nhận đường thẳng x= π/4+kπ/2 là một đường tiệm cận.

D. Hàm số y= tan2x là hàm số lẻ.

Lời giải:

Chọn B

Ta thấy hàm số y= tan2x luôn đồng biến trên mỗi khoảng (-π/2+kπ;π/2+kπ/),

⇒ hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng -π/2+kπ< 2x< π/2+kπ ⇒ -π/4+kπ/2 < x< π/4+kπ/2 . Vậy B là sai.

Ví dụ 4: Xét sự biến thiên của hàm số y= 1 - sinx trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau, kết luận nào sai?

A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( -π/2;0) .

B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/2) .

C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (π/2;π)

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Lời giải:

Chọn D

Hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 2π và kết hợp với các phương án đề bài thì ta sẽ xét sự biến thiên của hàm số trên [π/2;3π/2]

Ta có hàm số y=sinx

* Đồng biến trên khoảng (-π/2;π/2)

* Nghịch biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Từ đây suy ra hàm số y=1- sinx

* Nghịch biến trên khoảng (-π/2;π/2)

* Đồng biến trên khoảng (π/2;3π/2)

Dưới đây là đồ thị của hàm số y= 1- sinx và hàm số y= sinx trên R

Ví dụ 5: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. y=|tanx| đồng biến trong [-π/2;π/2] .

B. y=|tanx| là hàm số chẵn trên D= D=R\{ π/2+kπ} k ∈ Z.

C. y=|tanx| có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

D. y=|tanx| luôn nghịch biến trong (-π/2;π/2) .

Lời giải

Ta được đồ thị như hình vẽ trên.

+ Ta thấy hàm số y=|tanx| nghịch biến trên (-π/2;0) và đồng biến trên (0;π/2) . Nên ta loại A và D

+ Với B ta có f(-x)= |tan(-x)|=|tanx|=f(x) ⇒ hàm số y=|tanx| là hàm số chẵn.

⇒ B đúng

+ Với C ta thấy đồ thị hàm số đã cho không đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ 6: Hãy chọn mệnh đề sai: Trong khoảng (π/2+k2π;π+k2π) thì:

A. Hàm số y = sinx là hàm số nghịch biến.

B. Hàm số y= cosx là hàm số nghịch biến.

C. Hàm số y= tanx là hàm số đồng biến.

D. Hàm số y= cot x là hàm số đồng biến.

Lời giải:

Chọn D

D sai, thật vậy với 2π/3; 3π/4 ∈ (-π/2;π) ta có :

2π/3 <3π/4 ⇒ cot2π/3=-√3/3%nbsp; > -1=cot3π/4

Ví dụ 7: Trong khoảng (0; π/2) , hàm số y= sinx- cosx là hàm số:

A. Đồng biến.

B. Nghịch biến.

C. Không đổi.

D. Vừa đồng biến vừa nghịch biến.

Lời giải:

Chọn A

Cách 1: Ta thấy trên khoảng (0; π/2) hàm f(x)= sinx đồng biến và hàm g(x)= - cosx đồng biến. suy ra trên(0; π/2) hàm số y= sinx- cosx đồng biến.

Cách 2: Sử dụng máy tính. Dùng TABLE ta xác định được hàm số y= sinx- cosx tăng trên (0; π/2)

Ví dụ 8: Xét sự biến thiên của hàm số y=tan2x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và ( π/4; π/2) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0; π/4) và nghịch biến trên khoảng ( π/4; π/2).

C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng (0; π/2).

D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; π/4) và đồng biến trên khoảng ( π/4; π/2).

Lời giải:

Chọn A

Tập xác định của hàm số đã cho là D=R\{ π/4; π/2}

Hàm số y= tan2x tuần hoàn với chu kì π/2 dựa vào các phương án A; B; C; D thì ta sẽ xét tính đơn điệu của hàm số trên (0; π/2)\{π/4}

Dựa theo kết quả khảo sát sự biến thiên của hàm số y= tanx ở phần lý thuyết ta có thể suy ra với hàm số y = tan2x đồng biến trên khoảng (0; π/4) và ( π/4; π/2)

Ví dụ 9: Cho hàm số y = sinx. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng(π/2;π) , nghịch biến trên khoảng(π;3π/2) .

B. Hàm số đồng biến trên khoảng(-3π/2;-π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;π/2) .

C. Hàm số đồng biến trên khoảng(0;π/2) , nghịch biến trên khoảng(-π/2;0) .

D. Hàm số đồng biến trên khoảng(-π/2;π/2) , nghịch biến trên khoảng(π/2;3π/2) .

Lời giải:

Chọn D

Hàm số y= sinx đồng biến khi x thuộc góc phần tư thứ I và thứ IV;

nghịch biến khi x thuộc góc phần tư thứ II và thứ III.

Ví dụ 10: Bảng biến thiên của hàm số y=f(x)=cos2x trên đoạn [-π/2;3π/2] là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải:

Chọn A

Ta có thể loại phương án B, C ; D luôn do tại f(0)=cos0=1 và y=f(π)=cos2π=1 .

Các bảng biến thiên B ; C ; D đều không thỏa mãn.

Ví dụ 11: Cho hàm số y=cos(x/2) . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [-π;π] là:

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải:

Chọn C

Ta có thể loại A và B do f(π/2)=cos⁡(π/4)=√2/2.

Tiếp theo xét giá trị hàm số tại hai đầu mút có : f(-π)=f( π)=0 thì ta loại được D .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Hàm số y= sin 2x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A.(0;π/4) .

B. (π/2;π) .

C. (π;3π/2) .

D. (3π/2;2π) .

Câu 2:Hàm số y= cos2x nghịch biến trên khoảng (k ∈ Z) ?

A.(kπ;π/2+kπ) .

B.(π/2+kπ;π+kπ) .

C.(-π/+k2π;π/2+k2π) .

D. (π/2+k2π;3π/2+k2π) .

Câu 3:Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6) ?

A.y=tan(2x+π/6) .

B.y=cot(2x+π/6) .

C.y=sin(2x+π/6) .

D.y=cos(2x+π/6) .

Câu 4:Với x ∈ (31π/4;33π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y= cot x nghịch biến.

B. Hàm số y= tanx nghịch biến.

C. Hàm số y= sinx đồng biến.

D. Hàm số y= cosx nghịch biến.

Câu 5:Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (-π/3;π/6) ?

A.y=tan(2x+π/6) .

B.y=cot(2x+π/6) .

C.y=sin(2x+π/6) .

D.y=cos(2x+π/6) .

Câu 6:Xét các mệnh đề sau:

(I):∀x ∈ (π;3π/2) :Hàm số y=1/sinx giảm.

(II):∀x ∈ (π;3π/2) :Hàm số y=1/cosx giảm.

Hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên:

A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả hai đúng.

D. Cả hai sai.

Câu 7:Chọn mệnh đề đúng?

A. Hàm số y= tanx luôn luôn tăng.

B. Hàm số y= tanx luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.

C. Hàm số y= tanx tăng trong các khoảng (π+k2π;2π+k2π ), k ∈ Z .

D. Hàm số y= tanx tăng trong các khoảng (k2π;π+k2π ), k ∈ Z

Câu 8:Với x ∈ (31π/4;33π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y= cot x nghịch biến.

B. Hàm số y= tanx nghịch biến.

C. Hàm số y= sinx đồng biến.

D. Hàm số y= cosx nghịch biến.

Câu 9:Cho x ∈ (0;π/4) , mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Cả hai hàm số y= -sin 2x và y= - 1+ cos2x đều nghịch biến.

B. Cả hai hàm số y= - sin2x và y= - 1+ cos2x đều đồng biến.

C. Hàm số y= - sin2x nghịch biến, hàm số y= -1+ cos2x đồng biến.

D. Hàm số y= - sin2x đồng biến, hàm số y= - 1+ cos2x nghịch biến.

Câu 10: Cho hàm số y=4sin(x+π/6)cos(x-π/6)-sin2x . Kết luận nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số đã cho?

A. Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (0;π/4) và (3π/4;π) .

B. Hàm số đã cho đồng biến trên (0;π) .

C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;3π/4) .

D. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;π/4) và nghịch biến trên khoảng (π/4;π).