Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

• Nếu u_n có dạng u_n = a₁ + a₂ + ... + a_k + .. + a_n thì biến đổi a_k thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu gọn u_n .

• Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số (chẳng hạn tính u₁; u₂; ... ). Từ đó dự đoán công thức tính un theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra cũng có thể tính hiệu:

u_{n + 1} − u_n dựa vào đó để tìm công thức tính u_n theo n.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là:  .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là: 

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho dãy số có các số hạng đầu là: − 2; 0; 2; 4; 6...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

A. u_n = −2n .    B. u_n = − 2 + n .    C. u_n = − 2(n+ 1) .    D.u_n = − 2 + 2(n − 1)

Hướng dẫn giải:

Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là (−2) nên

u_n = − 2 + 2(n − 1) .

chọn D.

Ví dụ 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:  .Số hạng tổng quát của dãy số này là?

Hướng dẫn giải:

Ta có; 

=> Số hạng thứ n của dãy số là: 

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho dãy số (u_n) với  .Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0,1; 0,01; 0,001; 0,0001.... Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?

Hướng dẫn giải:

Ta thấy:

=> Số hạng thứ n là: 

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho  . Xác định công thức tính u_n

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 4; 8; 12; 16; 20; 24;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. u_n = 4n    B. u_n = 2n+ 2    C. u_n = 2n+ 5    D. u_n = 4n+ 2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

4 = 4.1 8 = 4.2 12 = 4.3

16 = 4.4 20 = 4.5 24 = 4.6

Suy ra số hạng tổng quát u_n = 4n.

Chọn A .

Ví dụ 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là: .Số hạng tổng quát của dãy số này là:

A. u_n = 7n + 7. B. u_n = 7n .

C. u_n = 7n + 1. D. u_n : Không viết được dưới dạng công thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

8 = 7 . 1 + 1 15 = 7 . 2 + 1 22 = 7 . 3 + 1

29 = 7 . 4 + 1 36 = 7 . 5 + 1

Suy ra số hạng tổng quát u_n = 7n + 1.

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho dãy số (u_n) với  .Công thức số hạng tổng quát của dãy số này :

A. u_n = nⁿ⁻¹.    B. u_n = 2ⁿ.

C. u_n = 2ⁿ⁺¹.    D. u_n = 2^{n − 1}

Hướng dẫn giải:

+ Ta có:

Hay u_n = 2ⁿ (vì u₁ = 2)

Chọn B

Ví dụ 10: Cho dãy số (u_n) với  . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. u_n = 1 + n    B. u_n = n(n + 1)    C. u_n = 1 + (−1)²ⁿ.    D. u_n = n

Hướng dẫn giải:

* Ta có: u_n+1 = u_n + (−1)²ⁿ = u_n + 1 (vì (−1)²ⁿ = ((−1)²)ⁿ = 1

=> u₂ = 2 ; u₃ = 3; u₄ = 4; ...

Dễ dàng dự đoán được: u_n= n.

Thật vậy, ta chứng minh được : u_n = n bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với n = 1 => u₁ = 1. Vậy (*) đúng với n = 1.

+ Giả sử (*) đúng với mọi n = k ( k ∈ N*), ta có u_k = k.

Ta đi chứng minh (*) cũng đúng với n = k + 1, tức là u_k+1 = k + 1

+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un ) ta có: u_k+1 = u_k + 1= k+ 1

Vậy (*) đúng với mọi n.

Chọn D.

Ví dụ 11: Cho dãy số (u_n) với  . Số hạng tổng quát un của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. u_n = 2 − n    B. không xác định.

C. u_n = 1 − n.    D. u_n = −n với mọi n.

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: u₂ = 0; u₃ = −1; u₄ = −2...

Dễ dàng dự đoán được u_n = 2 − n.

+ Thật vậy; với n = 1 ta có: u₁ = 1 ( đúng)

Giả sử với mọi n = k ( k ∈ N*) thì u_k = 2 − k.

Ta chứng minh: u_k+1 = 2 − (k+ 1)

Theo giả thiết ta có: u_{k + 1} = u_k + (−1)^{2k + 1} = 2 − k − 1 = 2 − (k+1)

=> điều phải chứng minh.

Ví dụ 12: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: − 1, 3, 19, 53. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm.

A. u₁₀ = 971    B. u₁₀ = 837    C. u₁₀ = 121    D. u₁₀ = 760

Hướng dẫn giải:

Xét dãy (u_n) có dạng: u_n = an³ + bn² + cn + d

Theo giả thiết ta có: u₁ = − 1; u₂ = 3; u₃ = 19 và u₄ = 53

=> hệ phương trình:

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1;b = 0 ; c = −3 và d = 1.

Khi đó; số hạng tổng quát của dãy số là: u_n = n³ − 3n+ 1

Số hạng thứ 10: u₁₀ = 971 .

Chọn A .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (u_n) với  . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

A. u_n = 2 + (n−1)².    B. u_n = 2 + n².    C.u_n = 2 + (n+1)².    D. u_n = 2 − (n−1)².

Câu 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:  . Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.

A. u_n = 3 + 5n    B. u_n = 3 + 5.(n+1)    C. u_n = 5.(n−1)    D. u_n = 3 + 5.(n−1)

Câu 3: Dãy số (u_n) được xác định bằng công thức:  . Tính số hạng thứ 100 của dãy số

A. 24502861     B. 24502501     C. 27202501     D. 24547501

Câu 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 2 và u_n+1 = 5u_n. Tính số hạng thứ 20 của dãy số?

A. 3. 5¹⁰     B. 2.5¹⁹    C. 2 . 5²⁰     D. 3 . 5²⁰

Câu 5: Cho dãy số (u_n) với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Câu 6: Cho  . Xác định công thức tính u_n

Câu 7: Cho dãy số có các số hạng đầu là: −1; 1; −1; 1; −1; 1; ...Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng

A.u_n = 1     B. u_n = − 1     C. u_n = (−1)n     D. u_n = (−1)ⁿ⁺¹

Câu 8: Cho dãy số (u_n) với  . Số hạng tổng quát u_n của dãy số là số hạng nào dưới đây?

Câu 9: Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = 3 và u_n+1 = √(1+ u_n²) với n ∈ N*. Tính số hạng thứ 28 của dãy số ?

A. 6     B. 7     C. 8     D. 9

Câu 10: Cho dãy số (u_n) với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:

Câu 11: Cho dãy số (u_n) với  . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là: