Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

A. Phương pháp giải

+ Điều kiện để ba số a; b; c lập thành cấp số cộng là c − b = b − a hay a + c= 2b.

+ Điều kiện để dãy số (u_n) là cấp số cộng là với ∀n ∈ N* thì: u_n+1 − u_n là hằng số ( không phụ thuộc vào n) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định x để 3 số: 1 + 2x; 2x² − 1; −2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn giải:

Ba số 1 + 2x; 2x² − 1; −2x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

Chọn B.

Ví dụ 2: Xác định a để 3 số 2-a; 6 + a2 ; 3a + 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của .     B. a= 4

C. a= ±2    D. a= ±√5

Hướng dẫn giải:

Ba số 2 - a; 6 + a2 ; 3a + 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi:

6 + a² − 2 + a = 3a + 2 - 6 - a²

⇔ 2a² − 2a + 8 = 0 phương trình này vô nghiệm.

=> Không có giá trị nào của a thỏa mãn.

Chọn A.

Ví dụ 3: Xác định a; b để phương trình x³ + ax + b= 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. b = 0; a < 0    B. b = 0; a = 1

C. b = 0; a > 0    D. b > 0; a < 0

Hướng dẫn giải:

Giả sử phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt là x₁; x₂ và x₃

*Do 3 số này lập thành cấp số cộng nên x₁ + x₃ = 2x₂ (1)

*Áp dụng hệ thức vi- et cho phương trình bậc 3 ta có:

x₁ + x₂ + x₃ = 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 2x₂ + x₂ = 0 ⇔ x₂ = 0

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm x = 0.Thay x = 0 vào phương trình đã cho ta được: 0³ + a . 0 + b = 0 ⇔ b = 0.

* Với b = 0 phương trình đã cho trở thành: x³ + ax = 0

Do đó; để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 khi và chỉ khi: a < 0.

Vậy điều kiện để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng là:

b = 0 và a < 0 .

chọn A.

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình mx⁴ − 2(m − 1)x² + m − 1= 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

Đặt x² = t (t ≥ 0) khi đó phương trình đã cho trở thành:

mt² − 2(m − 1)t + m − 1 = 0 (*)

Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt 0 < t₁ < t₂

Khi đó phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là −√t₂; −√t₁; √t₁; √t₂

Để 4 nghiệm này lập thành cấp số cộng thì:

Áp dụng hệ thức Vi-et với phương trình (*) ta có:

Thay t₂ = 9t₁ vào (1) ta được : 

thay vào (2) ta được:

Thử lại: Thay vào phương trình đã cho ta thấy  thỏa mãn.

Chọn B.

Ví dụ 5: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120 .

A. 1,5,6,8    B. 2,4,6,8

C. 1,4,6,9     D. 1,4,7,8

Hướng dẫn giải:

Giả sử bốn số hạng đó là a- 3d; a- d; a+ d; a+ 3d với công sai là d’= 2d. Khi đó, ta có:

+ Nếu d = 1 thì bốn số cần tìm là: 2; 4; 6; 8

+ Nếu d = −1 thì bốn số cần tìm là: 8; 6; 4; 2

Chọn B.

Chú ý:

* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.

* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai , là chẵn thì gọi công sai rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.

Ví dụ 6: Biết ba số: x² + 1; x − 2 và 1 − 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Hỏi có mấy giá trị nguyên dương của x thỏa mãn?

A. 0    B.1

C.2     D.3

Hướng dẫn giải:

Ta có: x² + 1; x − 2 ; 1 − 3x theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên:

Vậy có hai giá trị nguyên dương của x thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25⁰. Tìm 2 góc còn lại?

A. 65^o ; 90^o.     B. 75^o ; 80^o.

C. 60^o ; 95^o.     D. 60^o ; 90^o.

Hướng dẫn giải:

Gọi 3 góc của tam giác là u₁ = 25; u₂ = 25 + d và u₃ = 25 + 2d.

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180⁰ nên ta có:

Vậy hai góc còn lại của tam giác là 60⁰ và 95⁰

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc Acó số đo nhỏ nhất và bằng 30^o. Tìm tổng của góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tứ giác.

A. 180^o     B. 150^o.

C. 200^o.     D. 210^o.

Hướng dẫn giải:

Do 4 góc của tứ giác lập thành cấp số cộng và nên các góc còn lại của tứ giác là:

u₂ = 30 + d; u₃ = 30 + 2d và u₄ = 30 + 3d

Do tổng bốn góc của 1 tứ giác là 360⁰ nên:

Vậy các góc còn lại của tứ giác là: 70⁰; 110⁰ và 150⁰

=> Góc lớn nhất và góc nhỏ nhất của tứ giác là 150⁰ và 30⁰

Chọn A.

Ví dụ 9: Xác định x để 3 số: 1 − x; x²; 1 + x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của x.    B. x = ±2.

C. x = ±1.    D. x = 0

Hướng dẫn giải:

Ba số: 1 − x; x²; 1 + x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi : 

Chọn C.

Ví dụ 10: Xác định n để ba số 2n - 9; n ;n+ 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng ?

A. n= 2     B. n= 3

C. n= 4     D. n= 5

Hướng dẫn giải:

Điều kiện để ba số 2n – 9 ; n và n+ 3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng là :

Chọn B.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Biết rằng 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 27 và tổng các bình phương của chúng là 293. Hỏi số lớn nhất trong 3 số đó bằng bao nhiêu?

A. 14     B. 9

C. 11    D. 13

Câu 2: Tìm m để phương trình x⁴ − 2(m+1).x² + 2m + 1 = 0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m= 16     B. m= 11

C. m= 13     D. m= 12

Câu 3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b ,c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Biết , giá trị x+ y là:

A. 4     B. 1

C. 2     D. 3

Câu 4: Với giá trị nào của x để ba số: 10 − 3x; 2x² + 3 và 7 − 4x theo thứ tự lập thành cấp số cộng?

Câu 5: Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a và 3 cạnh lập thành cấp số cộng. Tính diện tích tam giác vuông đó theo a.

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình x³ − (3m + 1).x² + 2mx = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.

A. 0     B.1

C.2     D. 3

Câu 7: Tìm m để phương trình : x³ − 3x² − 9x + m = 0 có ba nghiệm phâ biệt và các nghiệm đố theo thứ tự lập thành cấp số cộng .

A. m= 11     B. m= 12     C. m= -11     D. m= 18

Câu 8: Biết rằng 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng có tổng bằng 20 và tích của của chúng là 384. Tìm số bé nhất trong bốn số đó.

A. 2     B. 5 − √241

C. −√241     D. Đáp án khác

Câu 9: Xác định m để phương trình x³ − 3x² − 9x + m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

A. m= 16     B. m= 11

C. m= 13    D. m= 12