Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm cực hay

A. Phương pháp giải

[Cách 1]. Sử dụng tính chất:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

[Cách 2]. Sử dụng biểu thức tọa độ (phương pháp quỹ tích)

Trong hệ tọa độ Oxy

● Nếu tâm đối xứng là O(0;0), với mỗi M(x;y) gọi M' = D_O(M) = (x';y') thì 

● Nếu tâm đối xứng I(a;b) bất kì, với mỗi M(x;y) gọi M' = D_I(M) = (x';y') thì 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - 6y + 5 = 0, điểm I(2;-4). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Hướng dẫn giải:

Lấy M(x;y) thuộc d, phép đối xứng tâm I(x₀,y₀) biến M(x;y) thành M'(x',y') thì . Thay vào phương trình d ta được

2(4 - x') - 6(-8 - y') + 5 = 0 ⇔ 2x' - 6y' - 61 = 0 hay 2x - 6y - 61 = 0.

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y + 2 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0)

Hướng dẫn giải:

d:x + y + 2 = 0 lấy 2 điểm A(0,-2), B(-2,0) thuộc d.

Gọi A’, B’ là ảnh của A,B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I. Khi đó d’ đi qua 2 điểm A’B’ nên có phương trình d': x⁡ + y⁡- 4 = 0

Vậy ảnh của d là d': x⁡ + y⁡- 4 = 0

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0)

Hướng dẫn giải:

• d: 2x + y + 1 = 0 lấy 2 điểm A(0,-1), B (-1,1) thuộc d. Gọi A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:

• Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối đối xứng tâm I. Khi đó, d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên có phương trình d’: đi qua A’( 2;1), 

Phương trình d’: 2(x - 2) + 1(y - 1) = 0 hay 2x + y - 5 = 0

Vậy ảnh của d là d': 2x ⁡ + y - 5 = 0

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1;2).

A. x + y + 4 = 0.

B. x + y - 4 = 0.

C. x - y + 4 = 0.

D. x - y - 4 = 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x - y + 4 = 0. Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?

A. 2x + y - 4 = 0.

B. x + y - 1 = 0.

C. 2x - 2y + 1 = 0.

D. 2x + 2y - 3 = 0.

Câu 3. Ảnh của đường thẳng Δ: x - y - 4 = 0 qua phép đối xứng tâm I(a;b) là đường thẳng Δ':x - y + 2 = 0. Tính giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức P = a² + b² .

Câu 4. Cho đường thẳng d: x - 2y + 6 = 0 và d': x - 2y - 10 = 0. Tìm phép đối xứng tâm I biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó.

A. I(3;0).

B. I(2;1).

C. I(1;0).

D. I(2;0).

Câu 5. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I(1;1) biến đường thẳng d: x + y + 2 = 0 thành đường thẳng nào sau đây:

A. d': x + y + 4 = 0.

B. d': x + y + 6 = 0.

C. d': x + y - 6 = 0.

D. d': x + y = 0.

Câu 6. Cho điểm I(1;1) và đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

A. d': x + y - 3 = 0.

B. d': x + 2y - 7 = 0.

C. d': 2x + 2y - 3 = 0.

D. d': x + 2y - 9 = 0.

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm I(a;b). Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d' có phương trình:

A. Ax + By + C – 2(Aa + Bb + C) = 0.

B. 2Ax + 2By + 2C – 3(Aa + Bb + C) = 0.

C. Ax + 3By + 2C – 27 = 0.

D. Ax + By + C – Aa – Bb – C = 0.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2. Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O?

A. x = -2.

B. y = 2.

C. x = 2.

D. y = -2.

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x - 2y - 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. 3x + 2y + 1 = 0.

B. -3x + 2y - 1 = 0.

C. 3x + 2y - 1 = 0.

D. 3x - 2y - 1 = 0.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng . Ảnh của đường thẳng Δ qua phép đối xứng tâm I(-2;2) có phương trình là:

A. x + 4y - 5 = 0.

B. x + 4y - 6 = 0.

C. 4x - y + 1 = 0.

D. 4x - y - 1 = 0.