Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số nhân cực hay

A. Phương pháp giải

* Cho (un) là cấp số nhân; có số hạng đầu là u1 và công bội q. Theo tính chất của cấp số nhân ta có: u_n² = u_n-1.u_n+1 với n ≥ 2.

* Để chứng minh ba số a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số nhân ta cần chứng minh: ac = b².

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q≠0 và a ≠ 0. Chứng minh: 

Hướng dẫn giải:

Do 3 số a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Ta có:

Lại có:  (do (*) ( 2)

Và  (do (*)) (3)

Từ (1),(2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 2: Cho bốn số dương phân biệt a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: 

Hướng dẫn giải:

* Do bốn số a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân công bội q nên

* Ta có: 

( chú ý bốn số đã cho là phân biệt nên q ≠ 1)

* Lại có : 

Từ (1) và (2) ta có: 

Ví dụ 3: Cho bốn số a,b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: ac + 2ad + bd = (b+c)²

Hướng dẫn giải:

* Do bốn số a,b,c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có:

Ví dụ 4: Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh: (ab+ bc+ ca)³ = abc( a+ b+ c)³

Hướng dẫn giải:

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có ac= b².

Ta có:

Ví dụ 5: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh : (a² + b²).(b² + c²) = (ab + bc)²

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ví dụ 6: Cho bốn số dương a ,b,c và d thỏa mãn √a; √b; √c và √d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: 

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số √a; √b; √c và √d theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội q. Ta có:

Do đó; ta có: 

Và 

Từ (1) và (2) suy ra: 

Ví dụ 7: Cho bốn số dương a, b, c và d theo thứ thự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: 

Hướng dẫn giải:

Gọi 4 số a,b, c, và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân có công bội q. Ta có:

Khi đó; 

Và 

Từ (1) và (2) suy ra: 

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: 

Câu 2: Cho a,b,c là ba số hạng liên tiếp của cấp số nhân .Chứng minh : (a + b +c). (a - b + c) = a² + b² + c²

Câu 3: Cho a, b, c và d theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Chứng minh: (b-c)² + (c-a)² + ( d- b)² + ( a- d)² = (a-d)²

Câu 4: Cho 3 số a,b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân. Chứng minh: (a²+ b²). (b² + c²)= ( ab+ bc)²

Câu 5: Cho a, b, c là cấp số cộng thỏa mãn: . Chứng minh tan a; tanb và tan c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân.

Câu 6: Cho ba số dương a,b,c lập thành cấp số nhân. Chứng minh:  cũng lập thành cấp số nhân.

Câu 7: Cho (u_n) là cấp số nhân và các số nguyên dương m; k ( m < k). Chứng minh: u_k-m . u_k+m = u_k²