Điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ba số hạng u_k, u_k+1, u_k+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi

Ba số hạng u_k, u_k+1, u_k+2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi và chỉ khi

Ví dụ minh họa

Bài 1: Với giá trị x nào dưới đấy thì các số -4, x, -9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân?

Lời giải:

Vì dãy số -4, x, -9 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:

x²=36 ⇔ x = ±6.

Bài 2: Cho hai số -3 và 23. Xen kẽ giữa hai số đã cho n số hạng để tất cả các số đó tạo thành cấp số cộng có công sai d = 2 Tìm n.

Lời giải:

Khi xen vào giữa hai số -3 và 23 n số hạng thì ta được một CSC với công sai d = 2. Nên suy ra CSC trên có n + 2 số hạng và 23 là số hạng thứ n + 2.

Khi đó ta có: 23 = -3 + (n + 1)2 ⇒ n = 12.

Bài 3: Cho các số -4, 1, 6, x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tìm x?

Lời giải:

Vì dãy số -4, 1, 6, x theo thứ tự lập thành một CSC nên ta có: (x+1)/2=6 ⇔ x=11.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Với giá trị x, y nào dưới đây thì các số hạng lần lượt là -2, x, -18, y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân?

Lời giải:

Ta có: -2, x, -18 theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: x²=36 ⇔ x=±6.

Ta có: x, -18, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên: x.y = 18²

Nếu x = 6 ⇒ y = 54.

Nếu x = - 6 ⇒ y = -54.

Bài 2: Tìm tất cả giá trị của x để ba số 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.

Lời giải:

Vì ba số 2x – 1, x, 2x + 1 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân nên ta có:

(2x-1)(2x+1)=x² ⇔ 3x²=1 ⇔ x=±1/√3

Bài 3: Ba góc A, B, C (A < B < C) của tam giác tạo thành cấp số cộng, biết góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất. Hiệu số đo độ của góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Vì Ba góc A, B, C (A < B < C) của tam giác tạo thành cấp số cộng và góc lớn nhất gấp đôi góc bé nhất nên ta có:

Vậy hiệu giữa góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là: 80º-40º=40º

Bài 4: Biết các số  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với n > 3. Tìm n?

Lời giải:

Vì các số  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

Vậy n = 7.

Bài 5: Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Tính y²+x².

Lời giải:

Các số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Nên ta có:

Khi đó y²+x²= 4 + 36 = 40.