Cách tính đạo hàm của hàm hợp cực hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Định lí : Nếu hàm số u= g(x) có đạo hàm tại x là u'_xvà hàm số y=f(u) có đạo hàm tại u là y'_u thì hàm hợp y=f(g(x)) có đạo hàm tại x là :

y'_x= y'_u.u'_x

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Đạo hàm của hàm số y = f(x)= ( 1- 3x²,)⁵ là:

A. -30x.(1-3x² )⁴        B. -10x.(1-3x² )⁴

C. 30(1-3x² )⁴        D. -3x.(1-3x² )⁴

Hướng dẫn giải

Đặt u (x)= 1- 3x2 suy ra u (x)=( 1-3x² )'=(1)'-3(x² )'= -6x

Với u= 1-3x2 thì y= u⁵ suy ra y^' (u)=5.u⁴=5.(1-3x²)⁴

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

y^' (x)= 5.(1-3x² )⁴.(-6x)= -30x.(1-3x² )⁴

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số: y= ( 5x+ 2)¹⁰.

A . 10( 5x+2)⁹        B. 50( 5x+2)⁹        C. 5( 5x+2)⁹        D.(5x+2)⁹

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=10.(5x+2)⁹.( 5x+2)'=50(5x+2)⁹

Chọn B.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số: y= ( 3x2+ 5x- 10)⁷

A. 7.( 3x²+5x-10)⁶

B. ( 3x²+5x-10)⁶.( 6x+5)

C. 7.( 3x²+5x-10)⁶.( 6x+5)

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=7.( 3x²+5x-10)⁶.(3x²+5x-10)'

y'= 7.( 3x²+5x-10)⁶.( 6x+5)

Chọn C.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm của hàm số : y=√(x²+2x-10)+( 2x+1)⁴

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của hàm số : y= ( x³+ x² -1)² ( 2x+1)²

A. y'= ( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².( 8x+4)

B. y'= 2( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².( 8x+4)

C. y'= ( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².( 4x+4)

D. y'= 2( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²-(x³+ x²-1)².( 8x+4)

Hướng dẫn giải

áp dụng công thức đạo hàm của của hàm hợp và đạo hàm của một tích ta có :

y'=[( x³+ x²-1) ]²'.(2x+1)²+(x³+ x²-1)².[(2x+1)²]'

Hay y'=2( x³+ x²-1)( x³+ x²-1)'.(2x+1)²+

(x³+ x²-1)².2( 2x+1).(2x+1)'

⇔ y'= 2( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².2( 2x+1).2

⇔ y'= 2( x³+ x²-1)( 3x²+2x).(2x+1)²+(x³+ x²-1)².( 8x+4)

Chọn B.

Ví dụ 6. Tính đạo hàm của hàm số .

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Tính đạo hàm của hàm số

Hướng dẫn giải

Ví dụ 8. Tính đạo hàm của hàm số

Hướng dẫn giải

Ví dụ 9. Tính đạo hàm của hàm số : y= √(x⁴+3x²+2x-1)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp ta có

Ví dụ 10. Tính đạo hàm của hàm số : y= √((2x-10)⁴+10)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

Ví dụ 11. Tính đạo hàm của hàm số y= ( 2√x+6x-10)²

A. y'=( 2√x+6x-10).( 1/√x+6)        B. y'=2.( 2√x+6x-10).( 1/√x+6)

C. y'=2.( 2√x+6x-10).( 2/√x+6)        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ; ta có :

y'=2.( 2√x+6x-10).( 2√x+6x-10)'

Hay y'=2.( 2√x+6x-10).( 1/√x+6)

Chọn B.

Ví dụ 12. Tính đạo hàm của hàm số : y= (-2)/( x³+2x² ) + (2x+1)²

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có :

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đạo hàm của hàm số y = f(x)= ( 6-x+2x²)³là:

A. 3.(6-x+2x² )² ( -1+4x)        B. 3.(6-x+2x² )²

C. (6-x+2x² )² ( -1+4x)        D. -3x.(1-3x² )⁴

Câu 2: Tính đạo hàm của hàm số y= ( √x+2x²+4x)⁴

A. 2( √x+2x²+4x)³.( 1/(2√x)+4x+4)        B. 4( √x+2x²+4x)³.( 1/(2√x)+4x+4)

C. ( √x+2x²+4x)³.( 1/(2√x)+4x+4)        D. Đáp án khác

Câu 3: Tính đạo hàm của hàm số

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số : y=√( (2x-2)²+2x)+( 3x-2)³

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số: y= ( -3x - 2)⁸.

A . - 24( 3x+2)⁷        B. - 24( -3x-2)⁷        C. 12(-3x-2)⁷        D. 12(3x+2)⁷

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số: y= ( 4x2 - 2x )³

A. 3.( 4x²-2x)²

B. ( 4x²-2x)².( 8x-2)

C. 3( 4x²-2x)².( 8x-2)

D. Đáp án khác

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số : y= ( 2x²-1)².√(2x+2)

Câu 9: Tính đạo hàm của hàm số : y= √(2x³-2x²+4x)

Câu 10: Tính đạo hàm của hàm số : y= √((x+1)⁴-2x)

Câu 11: Tính đạo hàm của hàm số