Tìm ảnh của một đường tròn qua phép đối xứng trục cực hay

A. Phương pháp giải

Phép đối xứng trục biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Cách 1.

Bước 1: Tìm ảnh I’ của âm I là tâm của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục.

Bước 2: Viết phương trình đường tròn (C’) với tâm I’ và bán kính R’ = R.

Cách 2. Sử dụng biểu thức tọa độ với trường hợp trục đối xứng là Ox hoặc Oy

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường tròn (C): x² + y² -4x + 2y + 1 = 0 và đường thẳng d: 2x - y + 2 = 0. Hãy viết phương trình của đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn (C) có tâm I(2;-1) và bán kính R = 2.

Gọi Hlà hình chiếu vuông góc của I lên d ⇒ IH ⊥ d ⇒ IH: x + 2y + c = 0.

I(2;-1) ∈ IH ⇒ 2 + 2.(-1) + c = 0 ⇒ c = 0 ⇒ IH: x + 2y = 0.

Gọi H=Δ∩d khi đó H là nghiệm của hệ:

- Gọi I’(x;y) là tâm của (C’).Khi đó H là trung điểm của II’ 

- Vậy (C’): 

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 3)² + (y + 5)² = 36. Viết phương trình đường tròn (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Ox

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Đường tròn (C) có tâm I(3;-5) và bán kính R = 6

Ta có 

Do đó (C') có phương trình (x - 3)² + (y - 5)² = 36.

Cách 2. Biểu thức tọa độ qua phép đối xứng trục Ox là 

Thay vào (C), ta được (x' - 3)² + (-y' + 5)² = 36 hay (x' - 3)² + (y' - 5)² =36.

Vậy (C') có phương trình (x - 3)² + (y - 5)² = 36.

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn(C): (x - 2)² + (y + 5)² = 16. Viết phương trình đường tròn (C')là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Hướng dẫn giải:

Đường tròn có tâm I(2;-5); bán kính R = 4.

Ảnh của tâm I(2;-5) qua trục Oylà I'(-2;-5).

Do đó ảnh của đường tròn qua trục Oylà (C'): (x + 2)² + (y + 5)² = 16.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn(C): (x - 2)² + (y + 3)² = 9. Viết phương trình đường tròn (C')là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy.

A. (C'): (x + 2)² + (y + 3)² = 9.

B. (C'): (x - 2)² + (y - 3)² = 9.

C. (C'): (x - 2)² + (y + 2)² = 9.

D. (C'): (x + 2)² + (y + 3)² = 4.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C): (x - 1)² + (y - 2)² = 4 và (C'): (x - 3)² + y² = 4. Viết phương trình trục đối xứng của (C) và (C').

A. y = x + 1.

B. y = x - 1.

C. y = -x + 1.

D. y = -x - 1.

Câu 3. Hình gồm hai đường tròn có tâm và bán kính khác nhau có bao nhiêu trục đối xứng?

A. Không có.

B. Một.

C. Hai.

D. Vô số

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 4)² = 1 và đường thẳng d có phương trình y - x = 0. Phép đối xứng trục d biến đường tròn (C) thành đường tròn (C') có phương trình là:

A. (x + 1)² + (y - 4)² = 1.

B. (x - 4)² + (y + 1)² = 1.

C. (x + 4)² + (y - 1)² = 1.

D. (x + 4)² + (y + 1)² = 1.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn(C): (x - 7)² + (y + 5)² = 25. Viết phương trình đường tròn (C')là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy.

A. (C'): (x + 7)² + (y - 5)² = 25.

B. (C'): (x + 7)² + (y + 5)² = 25.

C. (C'): (x - 7)² + (y + 5)² = 25.

D. (C'): (x + 7)² + (y + 5)² =5.

Câu 6. Cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 1)² = 4.

Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d: x + y - 2 = 0

A. (C'): (x - 2)² + (y - 1)² = 4

B. (C'): (x - 3)² + (y - 3)² = 4

C. (C'): (x - 3)² + (y - 2)² = 4

D. (C'): (x - 3)² + (y - 1)² = 4

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): (x - 1)² + (y + 2)² = 4. Phép đối xứng trục Ox biến đường tròn (C) thành đường tròn (C') có phương trình là:

A. (x + 1)² + (y - 2)² = 4.

B. (x - 1)² + (y + 2)² = 4.

C. (x - 1)² + (y - 2)² = 4.

D. (x + 1)² + (y + 2)² = 4.

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng đường tròn (C): x² + y² + 2x - 4y-4 = 0. Tìm ảnh của (C)qua phép đối xứng trục Ox.

A. (C'): (x + 2)² + (y + 2)² = 9

B. (C'): (x + 1)² + (y + 1)² = 9

C. (C'): (x + 3)² + (y + 2)² = 9

D. (C'): (x + 1)² + (y + 2)² = 9