Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình lượng giác cực hay

A. Phương pháp giải

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số .

+ Bước 2: Thiết lập phương trình; bất phương trình

+ Bước 3: Áp dụng cách giải phương trình ; bất phương trình lượng giác đã được học

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số: y= sinx+ cosx. Tìm nghiệm của phương trình y'=0

Hướng dẫn giải

Ví du 2. Cho hàm số: y= tanx+ cot x. Giải phương trình y'=0

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Cho f(x)= sin 2x. Giải phương trình f' ( x)=0?

Hướng dẫn giải

+ Ta có đạo hàm: f,m ' (x)=2cos2x

+ Để f' ( x)=0 ⇔ 2.cos2x= 0 hay cos2x= 0

Ví dụ 4.Cho hàm số; y=tan⁡( x+ π/3). Giải bất phương trình y’> 0.

A. x≠π/6+kπ        B. x≠π/6+k2π        C. x≠π/3+kπ        D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Điều kiện : x+ π/3≠π/2+kπ hay x≠π/6+kπ

+ Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định ta có đạo hàm:

Ví dụ 5. Cho hàm số y= 3x+ 1 – cos2x. Tập nghiệm của bất phương trình y'>0

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định với mọi x.

Ta có đạo hàm: y'=3+2sin2x

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤sin⁡2x ≤1 ⇔ - 2 ≤2sin2x ≤2

⇔ ≤3+2sin2x ≤5

⇒ Với mọi x ta luôn có: y'>0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

Chọn D.

Ví dụ 6. Cho hàm số y= cot² π/4. Khi đó nghiệm của phương trình y'=0 là:

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Cho hàm số : y= 2cos3x- 3sin2x. Giải phương trình y'= 0

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y'= -6 sin⁡3x-6cos2x

Để y'= 0 thì – 6 sin 3x - 6 cos2x= 0

⇔sin3x+ cos2x= 0 ⇔ sin3x= - cos2x

Ví dụ 8. Cho hàm số y=x³+ 3x+ sin³ x. Giải bất phương trình y' ≥0

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y'=3x²+ 3+ 3sin²x. cosx

Với mọi x ta có; cosx ≥ - 1 ⇒ 3sin² x.cosx ≥ - 3.sin² x

⇒ 3+ 3sin²x.cosx ≥ 3- 3.sin² x ⇔ 3+ 3sin²x.cosx ≥ 3.cos²x ( 1)

Lại có 3x² ≥0 ∀ x (2)

Từ( 1) và ( 2) vế cộng vế ta có:

y'=3x²+ 3+ 3sin²x. cosx ≥3x²+3cos² x ≥0 với mọi x.

Vậy với mọi x ta luôn có: y' ≥0

Chọn C.

Ví dụ 9. Cho hàm số y= cos( 2π/3+2x) . Khi đó phương trình y'=0 có nghiệm là:

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Ví dụ 10. Cho hàm số: y=2 cos⁡( 2x- π/3). Giải phương trình y'=4

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho :

Ví dụ 11. Cho hàm số y= x+ sin 2x. Giải phương trình y'= 0

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số là : y'=1+2cos2x

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số: y= 2tan3x + 3cot 2x+ 90. Giải phương trình y'=0

Câu 2: Cho hàm số: y= cos ( 2x- π/3) . sin (2x- π/4) . Giải phương trình y’= 2

Câu 3: Cho hàm số y= tan( x³ + 3x²+ 3x+ 9). Giải phương trình y'=0?

A. x= 0        B. x = 2        C. x= -1        D. Đáp án khác

Câu 4: Cho hàm số: y=(- 1)/2 cos⁡( 4x- π/6). Giải phương trình y'=1

Câu 5: Cho hàm số y= 2x+ 1+ cos2x. Giải phương trình y'= 2

A. x=π/3+kπ        B. x=π/6+kπ        C. x=kπ/2        D. x=kπ

Câu 6: Cho hàm số y= x³ +3x + sin3x. Tập nghiệm của bất phương trình y^' ≤0

Câu 7: Cho hàm số y= x + √x+ sin² x. Giải bất phương trình y'≥0

Câu 8: Cho f(x)= sin( π/2-3x). Giải phương trình f' ( x)=0?

Câu 9: Cho hàm số y=tan⁡( 2x+ 2π/3). Giải bất phương trình y’> 0

Câu 10: Cho hàm số: y=2sinx - 2cosx + 10. Tìm nghiệm của phương trình y'=0