Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M(x_o ; y_o) là tiếp điểm. Khi đó xo thỏa mãn: f ’(x_o) = k (*)

- Giải (*) tìm x_o. Suy ra y_o = f(x_o)

- Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k( x - x_o) + y_o

Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau:

   + Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f’(x) = k

   + Cho hai đường thẳng d₁ : y = k₁x + b₁ và d₂ : y = k₂x + b₂. Khi đó

Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan(∠OAB) = ± OA/OB, trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y’(x) = tan(∠OAB)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2.

Hướng dẫn:

TXĐ: D = R\{1}

Ta có 

Gọi M(x_o; y_o) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2 nên ta có

   + Với M(0; -1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3x – 1

   + Với M(2; 5) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 2) + 5 = -3x + 11

Bài 2: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x² – 6x = 3(x-1)² - 3 ≥ -3

Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng -3

Bài 3: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số  có hệ số góc k = -9 ?

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = x² + 6x

Ta có:

k = -9 ⇔ y’(x_o) = - 9

⇔ x_o² + 6x_o = -9

⇔ (x_o + 3)² = 0

⇔ x_o = -3 ⇒ y_o = 16

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9(x + 3) + 16 = -9x – 11

Bài 4: 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = - x⁴ – x² + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 

2. Cho hàm số có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng 

Hướng dẫn:

1. Hàm số đã cho xác định D = R

Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6

Cách 1: Gọi M(x_o ; y_o) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm số . Khi đó, ta có phương trình:

y’(x_o) = -6 ⇔ -4x_o³ - 2x_o = -6 ⇔ (x_o-1)(2x_o²+2x_o+3) = 0   (*).

Vì 2x_o² + 2x_o + 3 > 0 ∀x_o ∈ R nên phương trình

(*) ⇔ x_o = 1 ⇒ y_o = 4 ⇒ M(1;4)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10

Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m

(t) tiếp xúc (C) tại điểm M(x_o ; y_o) khi hệ phương trình sau có nghiệm x_o

 có nghiệm x_o ⇔ 

2. Hàm số đã cho xác định D = R

Ta có: y’ = x² – 1

Gọi M(x_o ; y_o) ∈(C) ⇔ 

Tiếp tuyến Δ tại điểm M có hệ số góc: y’(x_o) = x_o² - 1

Đường thẳng d: y = (-1/3)x + 2/3 có hệ số góc k = (-1/3)

Vậy có 2 điểm M(-2; 0) hoặc M = (2; 4/3) là tọa độ cần tìm.

Bài 5: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x³ + 3x² – 8x + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017?

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y’ = 3x² + 6x – 8

Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1

Ta có phương trình

Tại M(1; -3). Phương trình tiếp tuyến là y = x – 1 – 3 = x – 4

Tại N(-3; 25). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 3 + 25 = x + 28

Bài 6: Cho hàm số y = -x³ + 3x² – 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 có dạng Δ: y = -9x + c

Δ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình

 có nghiệm

⇔ 

Vậy có hai giá trị c thỏa mãn.

Bài 7: Cho hàm số  có đồ thị (H). Viết phương trình đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = - x + 2 và tiếp xúc với (H).

Hướng dẫn:

Tập xác định: D = R\{0}

Đạo hàm: y’ = 4/(x²)

Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = -x + 2 nên Δ có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình:

Tại M(2; 0). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x – 2) = x – 2

Tại N(-2; 4). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 2 + 4 = x + 6

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số y = x³ – 3x² có đồ thị (C) có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) song song đường thẳng y = 9x + 10

A. 1            B. 3            C. 2            D. 4

Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = x⁴ + x. Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng d: x + 5y = 0 có phương trình là:

A. y = 5x – 3

B. y = 3x – 5

C. y = 2x – 3

D. y = x + 4

Bài 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y = tanx tại điểm có hoành độ x = π/4.

A. k = 1            B. k = 0,5            C. k = √2/2            D. 2

Bài 4: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành bằng :

A. 9            B. 1/9            C. -9            D. -1/9

Bài 5: Cho hàm số y = x³ - 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 9

A. y = 9x - 1 hay y = 9x + 17

B. y = 9x - 1 hay y = 9x + 1

C. y = 9x - 13 hay y = 9x + 1

D. y = 9x - 15 hay y = 9x + 17

Bài 6: Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  tại giao điểm với trục tung bằng:

A. -2            B. 2            C. 1            D. -1

Bài 7: Hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong  tại điểm có hoành độ x_o = π là:

A.-√3/12            B. √3/12             C. -1/12            D. 1/12

Bài 8: Cho hàm số y = x³ – 6x² + 7x + 5 (C). Tìm trên (C) những điểm có hệ số góc tiếp tuyến tại điểm đó bằng -2?

A. (-1; -9); (3; -1)

B. (1; 7); (3; -1)

C. (1; 7); (-3; -97)

D. (1; 7); (-1; -9)

Bài 9: Cho hàm số  có đồ thị cắt trục tung tại A(0 ; -1), tiếp tuyến tại A có hệ số góc k = -3. Các giá trị của a, b là

A. a = 1, b = 1

B. a = 2, b = 1

C. a = 1, b = 2

D. a = 2, b = 2

Bài 10: Điểm M trên đồ thị hàm số y = x³ - 3x² - 1 mà tiếp tuyến tại đó có hệ số góc k bé nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị thì M, k là

A. M(1; -3), k = -3

B. M(1; 3), k = -3

C. M(1; -3), k = 3

D. M(-1; -3), k = -3

Bài 11: Gọi (C) là đồ thị hàm số . Tìm tọa độ các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó với (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình y = x + 4

A. (1 + √3; 5+3√3), (1-√3; 5-3√3)

B. (2; 12)

C. (0; 0)

D. (-2; 0)

Bài 12: Biết tiếp tuyến (d) của hàm số y = x³ – 2x + 2 vuông góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất. Phương trình (d) là:

Bài 13: Cho hàm số y = x³ + 3x² - 6x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (-1/18)x + 1

A. y = 18x + 8 và y = 18x -27

B. y = 18x + 8 và y = 18x - 2

C. y = 18x + 81 và y = 18x - 2

D. y = 18x + 81 và y = 18x - 27

Bài 14: Cho hàm số  tiếp tuyến của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d: 3y – x + 6 = 0 là

A. y = -3x – 3; y = -3x – 11

B. y = -3x – 3; y = -3x + 11

C. y = -3x + 3; y = -3x – 11

D. y = -3x – 3; y = 3x – 11

Bài 15: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = (2m – 1)x⁴ – m + 5/4 tại điểm có hoành độ x = - 1 vuông góc với đường thẳng d : y = 2x – y – 3 = 0

A. 3/4            B. 1/4            C. 7/16            D. 9/16