Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:

+ Bước 1. Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác( chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình )

+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình cos(x- 180⁰) + 2sin(90⁰- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰; 360⁰)

A. 0

B.1

C. 2

D .3

Lời giải

Ta có : cos(x- 180⁰) = - cosx và sin(90⁰- x)= cosx

Do đó; cos( x- 180⁰) + 2sin(90⁰– x)

⇒ - cosx +2cosx = 1

⇒ cosx = 1 ⇒ x= k.360⁰

Với x∈ ( 90⁰; 360⁰) ta có:

90⁰ < x < 360⁰ ⇒ 90⁰ < k.360⁰ < 360⁰

⇒ 1/4 < k < 1

⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 360⁰]

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có:cosx – sin2x= 0

⇒ cosx= sin 2x ⇒ cosx= cos(90⁰-2x)

+ Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [0⁰; 360⁰]

*Với họ nghiệm: x= 30⁰+k.120⁰ ta có:

0⁰ ≤ 30⁰+k.120⁰ ≤ 360⁰

⇒ -30⁰ ≤ k.120⁰ ≤ 330⁰ (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4

Mà k nguyên nên k = 0;1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 30⁰; 150⁰; 270⁰

* Với họ nghiệm x= 90⁰-k.360⁰ ta có:

0⁰ ≤ 90⁰-k.360⁰ ≤ 360⁰

⇒ - 90⁰ ≤ -k.360⁰ ≤ 270⁰

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó nghiệm phương trình là x= 90⁰

⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm

Chọn A.

Ví dụ 3. Tìm các nghiệm của phương trình - 2tan² x+ 4tanx – 2= 0 trên khoảng (90⁰; 270⁰)

A. 135⁰

B. 165⁰

C. 225⁰

D. Tất cả sai

Lời giải

Ta có: -2tan²x + 4tanx – 2= 0

⇒ - 2( tanx- 1)2 = 0 ⇒ tan x= 1

⇒ x= 45⁰+ k.180⁰

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰; 270⁰)

Ta có: 90⁰ < x < 270⁰ ⇒ 90⁰ < 45⁰+ k.180⁰ < 270⁰

⇒ 45⁰ < k.180⁰ < 225⁰

⇒ 1/4 < k < 5/4

Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x= 225⁰

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho phương trình sin² 2x +2 cos² x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (0⁰; 180⁰).

A.90⁰

B. 180⁰

C. 165⁰

D. 270⁰

Lời giải.

Ta có: sin2 2x + 2cos2 x= 0

⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x= 0

⇒ - cos2 2x + cos2x + 2= 0

Với cos2x= -1 ⇒ 2x=180⁰+ k.360⁰

⇒ x= 90⁰ + k.180⁰

Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 180⁰)

⇒ 0⁰ < 90⁰+ k.180⁰ < 180⁰

⇒ -90⁰ < k.180⁰ < 90⁰

⇒ (- 1)/2 < k < 1/2

K nguyên nên k= 0. Khi đó;x= 90⁰

Chọn A.

Ví dụ 5. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos⁴ x- sin⁴ x= 0 trên khoảng (0;2π)

A. 15π/4

B. 13π/4

C. 5π/2

D. Đáp án khác

Lời giaỉ

Ta có; cos⁴ x- sin⁴ x = 0

⇒ ( cos² x – sin² x) .(cos² x+ sin² x) = 0

⇒ cos2x. 1= 0 ⇒ cos2x= 0

⇒ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng(0; 2π)

Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4+ kπ/2 < 2π

⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4 ⇒ 1/2 < k < 7/2

Mà k nguyên nên k∈{1;2;3}

⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0;2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4

⇒ Tổng các nghiệm là : 15π/4

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho phương trình cos² x + sinx +1= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 720⁰]

A. 0

B. 3

C. 4

D. 2

Lời giải

Ta có: cos⁰ x+ sinx +1= 0

⇒ 1-sin⁰ x + sinx +1 = 0

⇒ - sin⁰ x+ sinx + 2= 0

⇒ sinx= - 1 ⇒ x= 270⁰+ k.360⁰

+ Ta có: 0⁰ ≤ 270⁰+k.360⁰ ≤ 720⁰

⇒ -270⁰ ≤ k.360⁰ ≤ 450⁰

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k=1.

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [0⁰; 720⁰]

Chọn D

Ví dụ 7. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1= 0 thõa điều kiện 0 ≤x≤π/2 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 8. Số nghiệm của phương trình sin² x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Ta có sin² x- sinx= 0

+ với họ nghiệm x= kπ.

Ta có: 0 < kπ < 2π

⇒ 0 < k < 2

Mà k nguyên nên k= 1

+ Với họ nghiệm x= π/2+k2π

Ta có; 0 < π/2+ k2π < 2π

⇒ - π/2 < k2π < 3π/2 ⇒ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k= 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình: 2cos² x- √3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2π) ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Câu 2:Cho phương trình: sin² x+ 1- sin² 2x= 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2;2π]

A. 5

B.3

C.4

D. 6

Câu 3:Cho phương trình 3cot⁡(x+ π/3)=3√3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π;8π]?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 4:Cho phương trình: .Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 3

B.5

C.6

D.4

Câu 5:Cho phương trình : tan⁴ x - 3tan² x= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)

A. 27

B. 28

C. 29

D. 30

Câu 6:Cho phương trình . Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 4π]?

A. 3

B.4

C. 5

D. 6

Câu 7:Cho phương trình – 2sin²x – 6cosx+ 6 = 0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 8:Cho phương trình:. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (-2π;2π)?

A. 3

B.5

C. 4

D.6