Xác định hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m.

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là:  với giá trị k đã tìm được ở trên.

Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m , hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x^m trong khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ

P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ được viết dưới dạng a₀ + a₁x + ...+ a_2nx²ⁿ

Ta làm như sau:

* Viết P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ 

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng (bx^p+cx^q)^k thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số a_k theo k và n;

* Giải bất phương trình a_k-1 ≤ a_k với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x³ - (2/x))ⁿ, biết rằng 

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 2: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x(1-2x)⁵+x² (1+3x)¹⁰

Đáp án và hướng dẫn giải

Đặt f(x)=x(1-2x)⁵+x² (1+3x)¹⁰

Ta có :

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của f(x) ứng với k = 4 và i = 3 là:

Bài 3: Đa thức P(x) =(1+3x+2x²)¹⁰=a₀ + a₁ x + ⋯ + a₂₀ x²⁰. Tìm a₁₅

Đáp án và hướng dẫn giải

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k + i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong khai triển (2a-b)⁵, hệ số của số hạng thứ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bài 2: Trong khai triển nhị thức (a+2)ⁿ⁺⁶,(n ϵ Z). Có tất cả số hạng. Vậy n bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (a+2)⁽ⁿ⁺⁶⁾,(n ϵ N) có tất cả n+7 số hạng.

Do đó n+7 =17 ⇔ n=10.

Bài 3: Trong khai triển (3x²-y)¹⁰, hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (3x²-y)¹⁰ có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là .

Bài 4: Tìm hệ số cuả x⁸ trong khai triển đa thức f(x)=[1+x² (1-x)]⁸

Lời giải:

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x⁸ chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:

Vậy hệ số cuả x⁸ trong khai triển đa thức [1+x² (1-x)]⁸ là:

a₈ =  = 238.

Bài 5: Đa thức P(x) = (1 + 3x + 2x²)¹⁰ = a₀ + a₁ x+⋯+a₂₀ x²⁰.. Tìm a₁₅

Lời giải:

Ta có:

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k+i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7