Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u₁ và d.

Cho cấp số cộng (u_n). Khi đó:

u_n= u₁+ (n-1)d: số hạng tổng quát của cấp số cộng;

d: công sai của cấp số cộng

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho cấp số cộng 

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;

2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;

3. Tính S = u₄ + u₅ + …+ u₃₀.

Đáp án và hướng dẫn giải

Từ giả thiết bài toán, ta có:

1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u_100=u_1+99d=-295

2. Tổng của 15 số hạng đầu:

3. Ta có:

Bài 2: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.

Đáp án và hướng dẫn giải

Giả sử bốn số hạng đó là a – 3x, a – x, a + x, a + 3x với công sai là d = 2x. Khi đó, ta có:

Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính

Lời giải:

Gọi d là công sai của cấp số đã cho

Ta có: S₁₀₀ = 50(2u₁ + 99d) = 24850

Ta có

Bài 2: Cho cấp số cộng (u_n). Xác định cấp số cộng

Lời giải:

Ta có:

Vậy công thức của CSC là : u_n = u₁ + (n-1)d = 70-20n

Bài 3: Với CSC ở câu 3. Tính tổng S = u₅ + u₇ + …+ u₂₀₁₁

Lời giải:

Ta có u₅, u₇, …, u₂₀₁₁ lập thành CSC với công sai d = và có 1003 số hạng nên

Bài 5: Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 4 và d = -5 Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải:

Bài 4: Cho CSC

1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số;

2. Tính S = u₁ + u₄ + u₇ + …+ u₂₀₁₁.

Lời giải:

Gọi d là công sai của CSC, ta có:

1. Ta có công sai d = 3 và số hạng tổng quát : u_n = u₁ + (n-1)d = 3n-2.

2. Ta có các số hạng u₁, u₄, u₇,..., u₂₀₁₁ lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d’ = 3d, nên ta có: