Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay
Với Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay Toán học lớp 11 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay.
Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian cực hay
A. Phương pháp giải
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta có thể làm theo các cách sau:
+ Gọi u→ và v→ là hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng; chứng minh: u→. v→ = 0
⇒ (u→ ; v→) = 90°
+ Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
+ Nếu a // a’; b // b’ và a ⊥ b thì a' ⊥ b'
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A . Tứ giác MNPQ là hình gì?
A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình thang
Hướng dẫn giải
Vì M; N; P; Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC; CB; BC’ và C’A
⇒ MNPQ là hình bình hành
Gọi H là trung điểm của AB.
Vì hai tam giác ABC và ABC’ đều nên
Suy ra AB ⊥ (CHC'). Do đó AB ⊥ CC'
Ta có
Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Chọn B
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có thể sai?
A. A'C' ⊥ BD
B. BB' ⊥ BD
C. A'B ⊥ DC'
D. BC' ⊥ A'D
Hướng dẫn giải
Chọn B
Chú ý: Hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau còn gọi là hình hộp thoi
A đúng vì:
Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ thì AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?
Sau đây là lời giải:
Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = 0 ⇔ AC.DB = 0 ⇔ AC ⊥ BD
Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta được AD ⊥ BC và AB→.AC→ = AD→.AB→ ta được AB ⊥ CD
Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương
Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?
A. Đúng
B. Sai từ bước 1
C. Sai từ bước 1
D. Sai bước 3
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
Hướng dẫn giải
Gọi P là trung điểm của AB
⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.
Suy ra
Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P
Do đó
Chọn B
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC; DB; AD; AC tại M; N; P; Q . Tứ giác MNPQ là hình gì?
A. Hình thang
B. Hình bình hành
C. Hình chữ nhật
D. Tứ giác không phải hình thang
Hướng dẫn giải
Ta có
Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB và QP // CD
Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành
Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD)
⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật
Chọn C
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB = a ; BD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN
Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.
Câu 3: Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của AC; BC; BD; AD. Góc (IE; JF) bằng
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
Câu 4: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC. Tính góc của hai đường thẳng AB và CD?
A. (AB, CD) = 60°
B. (AB, CD) = 30°
C. (AB, CD) = 45°
D. (AB, CD) = 90°
Câu 5: Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì?
A. Hình bình hành
B. Hình chữ nhật
C. Hình vuông
D. Hình thang
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên các cạnh DC và BB' lấy các điểm M và N sao cho MD = NB = x (0 ≤ x ≤ a). Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AC' ⊥ B'D'
B. AC’ cắt B’D’
C. AC’ và B’D’ đồng phẳng
D. Cả A, B, C đều đúng
b) khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. AC' ⊥ MN
B. AC’ và MN cắt nhau
C. AC’ và MN đồng phẳng
D. Cả A, B, C đều đúng