Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

Để giải phương trình quy về phương trình phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

• Sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng. ..để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

• Sử dụng cách giải phương trình phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Từ đó;suy ra nghiệm của phương trình đã cho.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2cos² x+ 5sin²x+ 5sinx= 0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2cos² x+ 5sin² x+ 5sinx=0

⇒ 2( cos² x+ sin² x) + 3sin²x+ 5sinx = 0

⇒ 2+ 3sin² x+ 5sinx= 0

Chọn D.

Ví dụ 2. Các họ nghiệm của phương trình cos2x- sinx= 0 là

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos2x- sinx=0

⇒ 1- 2sin² x – sinx= 0

Chọn A.

Ví dụ 3. Giải phương trình lượng giác 4sin⁴x +12cos² x – 7= 0 có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 4sin²x +12cos² x – 7= 0

⇒ 4sin² x + 12(1-sin² x) – 7 = 0

⇒ 4sin² x – 12sin²x + 5= 0 .

Chọn B.

Ví dụ 4: Phương trình cos2(x+ π/3)+4 cos⁡(π/6-x)= 5/2 có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 5. Họ nghiệm của phương trình – cos²2x – 2sin2x + 2= 0 là :

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: - cos² 2x – 2sin2x+ 2 = 0

⇒ sin² 2x- 1- 2sin2x + 2= 0

⇒ sin² 2x – 2sin2x +1=0

⇒ sin2x= 1

⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ

Chọn B.

Ví dụ 6: Một họ nghiệm của phương trình cos²2x + sin2x- 1= 0 là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 7. Giải phương trình: cosx = 3 - sin² x

A. π+k2π

B. k2π

C. kπ

D. π/2+ k2π

Lời giải

Ta có: cosx = 3- sin² x

⇒ 3- sin² x – cosx= 0

⇒ 3- (1- cos² x ) – cosx= 0

⇒ cos² x- cosx + 2= 0

Với cosx= -1 thì x= π+k2π

Chọn A.

Ví dụ 8. Giải phương trình : sin² x+ 2sin² 2x – 6sinx. cosx+ cos²x = 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: sin²x+ 2sin² 2x – 6sinx. cosx+ cos²x = 0

⇒ 2sin²2x -6sinx.cosx + (sin² x+ cos²x ) = 0

⇒ 2sin² 2x – 3sin2x +1= 0

Chọn A.

Ví dụ 9. Phương trình cos2x - 10cosx + 13= 0 có nghiệm là:

A. x= π/2+k2π

B.Ø .

C. x = ±arccos 2 + k2π.

D. x = ±arccos 3 + k2π.

Lời giải

Ta có: cos2x- 10cosx + 13= 0

⇒ 2cos² x – 1- 10cosx + 13= 0

⇒ 2cos² x – 10cosx + 12= 0

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn B.

Ví dụ 10: Phương trình sin²2x- 2cos² x+ 3/4=0 có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 11: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x + 2cos2x- 5= 0 là

A.k2π

B. π/3+ k2π.

C.kπ

D. π/3+ k2π.

Lời giải

Ta có: 3cos4x + 2cos2x – 5 = 0

Với cos2x= 1 thì 2x= k2π ⇒ x= k.π

Chọn C.

Ví dụ 12. Giải phương trình: .

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:  Phương trình sin² x+ sin² 2x = 1 có nghiệm là:

A.

B.

C.

D. Vô nghiệm.

Câu 2: Phương trình tanx + 3cotx = 4 có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Câu 3:Phương trình  có mấy họ nghiệm :

A. 0

B.1

C. 2

D. 3

Câu 4:Phương trình 2√2 ( sinx+cosx).cosx=3+cos2x có nghiệm là:

A.

B.

C.

D. Vô nghiệm.

Câu 5:Giải phương trình 

A.

B.

C.

D.

Câu 6:Phương trình: có các nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Câu 7:Phương trình cos2x + sin² x+ 2cosx + 1= 0 có nghiệm là

A.

B.π+k2π

C.

D.

Câu 8:Phương trình: có nghiệm là:

A.k2π , k nguyên .

B.k3π , k nguyên .

C.k4π , k nguyên .

D.π/4 + kπ , k nguyên .

Câu 9:Cho phương trình cos5x.cosx= cos4x.cos2x + 3cos² x+ 1. Các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A.

B.

C.

D.

Câu 10:Phương trình:  có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Câu 11: Phương trình:  có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Câu 12:Giải phương trình sin3x+ cos2x= 1+ 2sinx.cos2x

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Câu 13:Số họ nghiệm của phương trình cos5x+ cos2x+2sin3x.sin2x=0 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Câu 14:Tìm nghiệm của phương trình 

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Câu 15:Nghiệm phương trình 

A.

B.

C.

D.