Cách tìm vi phân của hàm số hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Cho hàm số y= f( x) xác định trên khoảng (a; b) và có đạo hàm tại x ∈(a;b ).

Ta gọi tích f' (x).∆ x là vi phân của hàm số y= f( x) tại x ứng với số gia ∆ x.

Kí hiệu: dy=df(x)=f' (x).∆ x

⇒ Để tính vi phân của hàm số y= f(x) ( trong trường hợp tại điểm đó hàm số có đạo hàm) ta làm như sau:

+ Bước 1. Tính đạo hàm f' (x) của hàm số.

+ Bước 2. Vi phân của hàm số là: dy=d(f(x))=f' (x).dx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= cos2x+ sin (x- 3). Tìm vi phân của hàm số?

A.dy= [- 2sin2x+ cos( x- 3)] dx         B. dy= [2sin2x+ cos( x- 3)] ∆x

C. dy= [2sin2x+ cos( x- 3)] dx         D.dy= [ 2sin2x – cos( x- 3)] dx

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định và có đạo hàm tại mọi điểm.

Đạo hàm của hám số là; y^'= -2sin2x+cos⁡( x-3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là ;

dy= d[ cos2x+ sin( x- 3) ] = [- 2sin2x+ cos( x- 3)] dx

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho hàm số y= x³ +3x² + 10x+ 90. Tìm vi phân của hàm số

A. dy=3x² + 6x+ 10         B. dy= ( 3x² + 6x+ 10).dx

C.dy = ( x² + 3x+ 10).dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Hàm số đã cho có đạo hàm tại mọi điểm và y'= 3x² +6x+ 10

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là :

dy=d( x³+ 3x² + 10x+ 90)= ( 3² + 6x+ 10).dx

chọn B.

Ví dụ 3. Cho hàm số y= √(x²-4) . Tìm dy?

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x²- 4 > 0 hay x > 2 hoặc x <-2 .

Tại các diểm đó hàm số có đạo hàm là:

Ví dụ 4. Tìm vi phân của hàm số: y= (x³+2x-3)²

A. dy= (x³+2x-3).(x²+2x-3).dx

B. dy= (x³+2x-3).dx

C. dy= (x³+2x-3).(3x²+2).dx

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= (x³+2x-3)(x³+2x-3) '

⇒y'=(x³+2x-3).(3x²+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d((x³+2x-3)² )= (x³+2x-3).(3x²+2).dx

chọn C.

Ví dụ 5. Tìm vi phân của hàm số y= sin( x² + 3x+ 1) .

A. dy=cos⁡( x²+3x+1) dx         B.dy=cos⁡( x²+3x+1).( 2x+3) dx

C.dy= -cos⁡( x²+3x+1).( 2x+3) dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=cos⁡( x²+3x+1).(x²+3x+1)'= cos⁡( x²+3x+1).( 2x+3)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[sin( x2 + 3x+ 1)]= cos⁡( x²+3x+1).( 2x+3) dx

chọn B.

Ví dụ 6. Tìm vi phân của hàm số y= ( x² – 1) . sin x.

A. dy= [2x.sinx+(x²-1).cosx] dx         B. dy= [-2x.sinx+(x²-1).cosx] dx

C.dy= [2x.sinx-(x²-1).cosx] dx         D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số:

y'=( x²-1)'.sinx+(x²-1).( sinx)'

⇒y'=2x.sinx+(x²-1).cosx

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy=d(x² – 1) . sin x= [2x.sinx+(x²-1).cosx] dx

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm vi phân của hàm số: y= (x-1)/(2x-4)?

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x≠2

Tại các điểm x≠2 hàm số có đạo hàm là ;

Ví dụ 8. Tìm vi phân của hàm số: y=(x²-2x+3)/(x-2)?

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: x≠2

Với x≠2 hàm số có đạo hàm là;

Ví dụ 9. Tìm vi phân của hàm số:y= [x²+x+ sin⁡( 2x-3)]³

A. dy = 3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

B. dy = [x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

C. dy = 3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+cos⁡( 2x- 3) ) dx

D. Tất cả sai .

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]'

⇔ y'=3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) )

Vi phân của hàm số đã cho là :

dy = 3.[x²+x+ sin⁡( 2x-3)]².( 2x+1+2 cos⁡( 2x- 3) ) dx

Chọn A.

Ví dụ 10. Tìm vi phân của hàm số : y= sin4 (x²+ 2x+ 2)

A. dy= 2sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

B. dy= 4sin³ (x²+2x+2)( x+1).dx

C. dy= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= 4sin³ (x²+2x+2).( x²+2x+2)'= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là :

dy= 4sin³ (x²+2x+2)( 2x+2).dx

chọn C.

Ví dụ 11. Tìm dy của hàm số : y= sin2x/cos⁡( 3x+1)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là:

Ví dụ 12. Tìm dy của hàm số: cos( √(( x-1)⁴-1 )+x+1)

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'= -sin⁡( √(( x-1)⁴-1 )+x+1).(√(( x-1)⁴-1 )+x+1)'

Ví dụ 13. Tìm vi phân của hàm số: y=(√(x²-1)-1)(x²-2x)

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x> 1 hoặc x < - 1 ( khi đó x²-1> 0 )

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

Ví dụ 14. Tìm vi phân của hàm số y= cos( sin( 2x+ 1) )

A. - sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

B. -2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

C. sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

D. 2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là :

y'=-sin⁡(sin⁡(2x+1 ) ).[sin⁡( 2x+1)]'

⇒ y'= -sin⁡(sin⁡(2x+1) ).2cos⁡(2x+1)

⇒ Vi phân của hàm số đã cho là:

dy= d[ cos(sin ( 2x+ 1) )]= -2 sin⁡(sin⁡(2x+1) ).cos⁡(2x+1) dx

chọn B.

Ví dụ 15. Tìm dy của hàm số: y= tan( x²+ 2x). cotx.

Hướng dẫn giải

Đạo hàm của hàm số đã cho là;

Ví dụ 16. Cho hàm số y= sin( 2x- π/3) . Tính vi phân của hàm số tại x= π/2 và ∆ x= 0,2

A. – 0, 4         B. -0,1         C . -0, 2         D. 0, 2

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là :

Ví dụ 17. Vi phân của hàm số y= x⁴ – 3x² + 10 tại điểm x= 1, ứng với ∆ x= 0,1 là:

A. -0,2 B. 0,4 C. 0,1 D. -0,2

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm của hàm số đã cho là:

y'=4x³-6x

⇒ y' (1)= -2

⇒ Vi phân của hàm số đã cho tại điểm x= 1 và ∆ x= 0, 1 là :

dy= y' (1).∆ x = - 2. 0,1= - 0,2

chọn A

Ví dụ 18. Cho hàm số; y= (x+2)/(2x-4). Vi phân của hàm số tại x= 1 là?

A. dy= - dx         B. dy= -2dx         C. dy= 3dx         D. dy= 4dx

Hướng dẫn giải

Tại các điểm x≠2; hàm số có đạo hàm:

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y= cos( 2x- x²)+ sin (3x- 5). Tìm vi phân của hàm số?

A.dy =[(2-2x) sin⁡( 2x- x² )+3cos⁡( 3x-5)] dx

B. dy =[-(2-2x) sin⁡( 2x- x² )+3cos⁡( 3x-5)] dx

C. dy =[-(2-2x) sin⁡( 2x- x² )-3cos⁡( 3x-5)] dx

D. dy=[-(2-2x) cos⁡( 2x- x² )+3cos⁡( 3x-5)] dx

Câu 2: Tìm vi phân của hàm số : y= sin³(x²+ 2√x)

Câu 3: Vi phân của hàm số y= 2x³ +2x² + 6 tại điểm x= -2, ứng với ∆ x= 0,2 là:

A. 3,2         B. 3,4         C. 2,4         D. 1,2

Câu 4: Cho hàm số; y= (2x-4)/(x+1). Vi phân của hàm số tại x= 0 là?

A. dy= 6dx         B. dy= -2dx         C. dy= 3dx         D. dy= 4dx

Câu 5: Cho hàm số y= sin( 4x- π/4) . Tính vi phân của hàm số tại x= π/4 và ∆ x= -0,1

A. – 0,4. √2         B. -0,1.√2         C .0,2.√2         D. 0,2

Câu 6: Tìm vi phân của hàm số: y= (2x+1)/( x²-2x+3)?

Câu 7: Tìm vi phân của hàm số y= sin( x³ + x+ √x) .

Câu 8: Tìm dy của hàm số: y= tan( 2+ 2x). cot3x.

Câu 9: Tìm dy của hàm số : y= sin2x/cos⁡4x

Câu 10: Tìm vi phân của hàm số y= ( x +2) . ( 3- sin x)

A. dy= [3- sinx – ( x+2).cosx] dx         B. dy= [-2sinx+(x+2).cosx] dx

C.dy=[3- sinx + ( x+2).cosx] dx         D. Đáp án khác

Câu 11: Tìm vi phân của hàm số: y=√(x+2.) (x²-2)

Câu 12: Tìm dy của hàm số: cos( √(( x+2)³ )+2x)?

Câu 13: Tìm vi phân của hàm số: y=(x²+x-1)/(x+1)?

Câu 14: Tìm vi phân của hàm số: y= (x⁴-2x²+1)³

A. dy= 3.(x⁴-2x²+1)².(x³-2x).dx

B. dy= 3.(x⁴-2x²+1)².(4x³-4x).dx

C. dy=3.(x⁴-2x²+1)².dx

D. Đáp án khác

Câu 15: Cho hàm số y= 2x⁴ +x³+ x . Tìm vi phân của hàm số

A. dy = 8x³ + 3x²+ 1

B. dy = ( 8x⁴ + 3x+ 1).dx

C. dy = ( 8x³ + 3x²+ 1).dx

D. Đáp án khác

Câu 16: Cho hàm số y= √(x³- 2x²+1) . Tìm dy?

Câu 17: Tìm vi phân của hàm số y= sin( sin(x²+ 2x) )

A. dy= -cos⁡(sin⁡(x²+2x) ).cos⁡(x²+2x).( 2x+2)dx

B. dy= cos⁡(sin⁡(x²+2x) ).cos⁡(x²+2x).( x+2).dx

C.dy= 2cos⁡(sin⁡(x²+2x) ).sin⁡(x²+2x).( x+1).dx

D.Đáp án khác

Câu 18: Tìm vi phân của hàm số:y= [x²-1+ sin⁡( x+1)]⁴

A. dy =4.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.( 2x-cos⁡( x+1) )dx

B. dy =- 2.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.( 2x+cos⁡( x+1) )dx

C. dy =4.[x²-1+ sin⁡( x+1)]³.( 2x+cos⁡( x+1) )dx

D. Tất cả sai