Cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P), có hai cách làm như sau:

* Cách 1:

    + Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và một đường thẳng a nào đó thuộc mặt phẳng (P)

    + Trong mp( Q), 2 đường thẳng a và d cắt nhau tai điểm A. Khi đó điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp(P)

* Cách 2: Chọn mặt phẳng phụ:

    + Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, sao cho dễ dàng tìm giao tuyến của mp (Q) với mp (P)

    + Tìm giao tuyến của mp(P) và (Q) - gọi là đường thẳng d.

    + Tìm giao điểm của đường thẳng a và đường thẳng d - gọi là điểm A

Khi đó: điểm A chính là giao điểm của đường thẳng d và mp (P)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. Gọi I là giao điểm của AM với mp (SBD) . Tìm mệnh đề đúng?

$$\begin{gathered} A. \overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IM} \\ B. \overrightarrow{IA}=-3\overrightarrow{IM} \\ C. \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IM} \end{gathered}$$

D. tất cả sai

Lời giải

   + Gọi O là tâm hình bình hành ABCD suy ra O là trung điểm của AC.

   + Nối AM cắt SO tại I mà SO ⊂ (SBD)

Suy ra I = AM ∩ (SBD).

   + Tam giác SAC có M; O lần lượt là trung điểm của SC và AC

Mà I là giao điểm của AM và SO.

⇒ I là trọng tâm tam giác SAC

⇒ AI = 2/3 AM và IA = 2.IM

Lại có điểm I nằm giữa A và M suy ra: 

$\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IM}$

Chọn A

Ví dụ 2: Cho bốn điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên AB; AD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho MN cắt BD tại I . Điểm I không thuộc mặt phẳng nào sao đây:

A. (BCD)       B. (ABD)      C. (CMN)      D. (ACD)

Lời giải

Chọn D

   + Do I là giao điểm của MN và BD nên:

I ∈ BD ⇒ I ∈ (BCD), (ABD)

I ∈ MN ⇒ I ∈ (CMN)

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD và gọi I = SO ∩ AM. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)

A. là giao điểm của SD và SI

B. là giao điểm của SD và BJ

C. Là giao điểm của SD và MI

D. là giao điểm của SD và IJ

Lời giải

Trong mp (SBD), gọi K = IJ ∩ SD

Ta có I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN)

⇒ IJ ⊂ (AMN)

Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ (AMN)

Vậy K = SD ∩ (AMN)

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, K là 2 điểm trên SA; BC. Gọi E là giao điểm của AK và BD; O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của IK với (SBD) ?

A. Là giao điểm của IK và SO

B. Là giao điểm của IK và DO

C. Là giao điểm của IK và SE

D. Là giao điểm của IK và BE

Lời giải

   + Chọn mp(SAK) chứa IK. Tìm giao tuyến của (SAK) và (SBD)

Có S ∈ (SAK) ∩ (SBD)    (1)

   + Trong mp(ABCD) có:

   + Từ (1) và (2) suy ra (SAK) ∩ (SBD) = SE

   + Trong mp(SAK) gọi

Vậy giao điểm của IK và (SBD) là giao điềm của IK và SE

Chọn C

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O; điểm S không thuộc mp(ABCD). Trên đoạn SC; lấy 1 điểm M không trùng với S và C. Gọi K là giao điểm của SO và AM. Giao điểm của đưởng thẳng SD và mp( ABM) là :

A. Giao điểm của SD và AB

B. Giao điểm của SD và AM

C. Giao điểm của SD và BK

D. Giao điểm của SD và MK

Lời giải

   + Chọn mặt phẳng phụ chứa SD là mp(SBD)

   + Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM)

Ta có: B ∈ (SBD) ∩ (ABM)    (1)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD .

Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AM và SO.

Ta có:

- K ∈ SO ⊂ (SBD)

- K ∈ AM ⊂ (ABM)

⇒ K ∈ (SBD) ∩ (ABM)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: giao tuyến của (ABM) và (SBD) là BK

   + Trong mặt phẳng (SBD), gọi N là giao điểm của SD và BK

⇒ N là giao điểm của SD và mp (ABM)

Chọn C

Ví dụ 6: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Giao điểm của đường thẳng CD và mp(MNP) là giao điểm của

A. CD và NP        B. CD và MN        C. CD và MP        D. CD và AP

Lời giải

Cách 1.

   + Chọn mặt phẳng phụ chứa CD là mp(BCD)

   + Do NP không song song CD nên NP cắt CD tại E

Điểm E ∈ NP nên E ∈ (MNP)

⇒ giao điểm của CD và mp(MNP) là điểm E.

Chọn A.

Cách 2

   + Ta có : NP ⊂ (BCD)

⇒ NP và CD đồng phẳng

   + Gọi E là giao điểm của NP và CD mà NP ⊂ ( MNP)

suy ra CD ∩ (MNP) = E

Vậy giao điểm của CD và mp (MNP) là giao điểm E của NP và CD.

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD; G là trọng tâm tam giác BCD. Giao điểm của đường thẳng EG và mặt phẳng (ACD) là:

A. Điểm F

B. Giao điểm của đường thẳng EG và AF.

C. Giao điểm của đường thẳng EG và AC.

D. Giao điểm của đường thẳng EG và CD.

Lời giải

   + Vì G là trọng tâm tam giác BCD; F là trung điểm của CD nên G ∈ BF ⊂ (ABF)

   + Ta có E là trung điểm của A B nên E ∈ (ABF).

   + chọn mp phụ chứa EG là (ABF).

Dễ dàng tìm được giao tuyến của (ACD) và (ABF) là AF.

   + Trong mp(ABF); gọi M là giao điểm của EG và AF .

Vậy giao điểm của EG và mp(ACD) là giao điểm M của EG và AF

Chọn B

Ví dụ 8: Cho 4 điểm A, B, C và S không cùng thuộc 1 mặt phẳng. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB. Trên SC lấy điểm K sao cho IK không song song với AC. Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC với mp(IHK). Chọn mệnh đề đúng?

A. Điểm E thuộc tia BC

B. Điểm E thuộc tia CB

C. Điểm E nằm trong đoạn BC

D. Điểm E nằm giữa B và C

Lời giải

   + Chọn mặt phẳng phụ chứa BC là mp (ABC)

   + Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (IHK)

- H ∈ (ABC) ∩ (IHK)    (1)

Trong mặt phẳng (SAC), do IK không song song với AC nên gọi giao điểm của IK và AC là F. Ta có

- F ∈ AC ⊂ (ABC)

- F ∈ IK ⊂ (IHK)

Suy ra: F ∈ (ABC) ∩ (IHK)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: HF = (ABC) ∩ (IHK)

   + Trong mặt phẳng (ABC), gọi E là giao điểm của HF và BC

Ta có

- E ∈ HF ⊂ (IHK)

- E ∈ BC

⇒ giao điểm của BC và (IHK) là E.

Chọn D

Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD. Các điểm P; Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD. Tính tỉ số: SA/SD

A. 2      B. 1      C. 1/2      D. 1/3

Lời giải

   + Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I; cắt AD tại S

   + Xét tam giác BCD bị cắt bởi IR, ta có

   + Xét tam giác ABD bị cắt bởi PI ta có:

Chọn A.

Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P; Q: R lần lượt lấy trên ba cạnh AB; CD; BC. Cho PR// AC và CQ = 2.QD. Gọi giao điểm của AD và (PQR) là S. Chọn khẳng định đúng?

A. AD = 3 DS        B. AD = 2 DS        C. AS = 3 DS        D. AS = DS

Lời giải

   + Gọi I là giao điểm của BD và RQ. Nối P với I; cắt AD tại S

   + Vì PR song song với AC suy ra:

⇒ AD = 3.DS

Chọn A

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).

A. Điểm K, trong đó K = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

B. Điểm H, trong đó H = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

C. Điểm V, trong đó V = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

D. Điểm P, trong đó P = IJ ∩ SD, I = SO ∩ AM, O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD

Câu 2: Cho tứ diện ABCD trong đó có tam giác BCD không cân. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB; CD và G là trung điểm của đoạn MB. Gọi A₁ là giao điểm của AG và (BCD). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. A₁ là tâm đường tròn tam giác BCD

B. A₁ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD

C. A₁ là trực tâm tam giác BCD

D. A₁ là trọng tâm tam giác BCD

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB; N là trọng tâm tam giác SCD. Xác định giao điểm của:

a) MN và (ABCD)

b) MN và (SAC)

c) SC và (AMN)

d) SA và (CMN)

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm SA, SB. Lấy điểm M tùy ý trên SD; gọi H là giao điểm của AD và BC. Tìm giao điểm của IM và (SBC)

A. Giao điểm của IM và SC

B. Giao điểm cuả IM và SH

C. Giao điểm của IM và HC

D. Tất cả sai

Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm SA, SB. Lấy điểm M tùy ý trên SD; gọi O là giao điểm của AC và BD. Tìm giao điểm của JM và (SAC)

A. Giao điểm của JM và SC

B. Giao điểm cuả JM và SO

C. Giao điểm của JM và OC

D. Tất cả sai

Câu 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

A. Điểm H, trong đó E = AB ∩ CD, H = SA ∩ EM

B. Điểm N, trong đó E = AB ∩ CD, N = SA ∩ EM

C. Điểm F, trong đó E = AB ∩ CD, F = SA ∩ EM

D. Điểm T, trong đó E = AB ∩ CD, T = SA ∩ EM

Câu 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi E; F; G là điểm lần lượt thuộc các cạnh AB; AC; BD sao cho EF không song song với BC; EG Không song song với AD. Tìm giao điểm của AD và mp(EFG)

A. Điểm H - giao điểm của AD và EG

B. Điểm I - giao điểm của EF và BC

C. Trung điểm của CD

D. Điểm O - giao điểm của CD và GI trong đó I là giao điểm của EF và BC

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy không là hình thàng. Gọi AD ∩ BC = I; SI ∩ BM = K và AB ∩ CD = O. Trên SC lấy điểm M; gọi N là giao điểm của SD và AK. Chọn mệnh đề sai?

A. Ba đường thẳng AB; CD; MN đồng quy

B. O; M; N thẳng hàng

C. N là giao điểm của SD và (MAB)

D. Có ít nhất một mệnh đề sai

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng MC và mặt phẳng (SBD).

A. Điểm H, trong đó I = AC ∩ BD, H = MA ∩ SI

B. Điểm F, trong đó I = AC ∩ BD, F = MA ∩ SI

C. Điểm K, trong đó I = AC ∩ BD, K = MA ∩ SI

D. Điểm V, trong đó I = AC ∩ BD, V = MA ∩ SI