Cách tìm số hạng đầu tiên, công bội, số hạng thứ k của cấp số nhân cực hay

A. Phương pháp giải

+ Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁; công bội q. Khi đó, số hạng thứ k của cấp số nhân là: u_k = u₁ . q^{k − 1}

+ Với n > m ta có: u_n = u_m . q^n-m

+ Với a ≠ 1 ta có: 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3 và u₈ = 384. Hỏi 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của dãy?

Hướng dẫn giải:

Ta có: u₈ = u₁ . q₇ nên 

Suy ra: Số hạng tổng quát của cấp số nhân là; u_n = 3. 2^n-1.

Ta có:

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

Chọn A.

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Khi đó; 

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân (u_n) với u₄ = 108 và u₂ = 3. Viết số hạng tổng quát của cấp số nhân; biết q > 0 ?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Khi đó; 

=> Số hạng tổng quát của cấp số nhân là:

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2 và u₇ = 128. Tìm q.

A .q= 2    B. q= - 2

C. q= ±3     D. q= ±2

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Vậy q = 2 hoặc q = −2

Chọn D.

Ví dụ 5: Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3; q = 5. Viết 3 số hạng tiếp theo.

A. 15, 95, 275    B.15, 75, 375

C. 75, 375, 1975    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Chọn B .

Ví dụ 6: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Tìm công sai của cấp số nhân đã cho?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Chọn C.

Ví dụ 7: Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tính tổng bốn số đó?

Hướng dẫn giải:

Nếu giữa các số 160 và 5 ta chèn vào 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Khi đó; ta được cấp số nhân có số hạng đầu là u₁ = 160 và số hạng thứ 6 là u₆ = 5.

Suy ra:

=> 4 số hạng ta cần thêm vào là: u₂ = 80; u₃ = 40; u₄ = 20 và u₅ = 10.

Suy ra tổng bốn số cần tìm là: 80 + 40 + 20 + 10= 150.

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm u1 biết 

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Từ ( 1) và (2) lấy vế chia vế ta được:

Thay vào (1) ta tìm được u₁ = 1 hoặc u₁ = 8.

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho (u_n) là cấp số nhân thỏa mãn:  . Tìm u₁ và q?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Lấy (1) chia (2) vế chia vế ta được:

Đặt:  . Điều kiện |t| ≥ 2

Với 

Nếu 

Nếu 

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn:  . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có: 

Từ (1) và u₁ q ≠ 0 suy ra:

Từ (2) suy ra: 

Chọn B.

Ví dụ 11: Cho cấp số nhân (u_n) với  . Số 222 là số hạng thứ mấy của (u_n) ?

Hướng dẫn giải:

Số hạng tổng quát của dãy số đã cho là:

Xét phương trình:

=> Không có giá trị nào của n thỏa mãn.

Vậy 222 không là số hạng của cấp số đã cho.

Chọn D.

Ví dụ 12: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn: . Số hạng đầu tiên có dạng  trong đó a và b nguyên tố. Tính a+ b?

Hướng dẫn giải:

Theo giả thiết ta có:

Từ (1) và (2) vế chia vế (chú ý u₁ ≠ 0 ) ta được:

Thay vào (1) suy ra:

Chọn C.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn :  . Tìm số hạng thứ 6 của cấp số nhân.

Câu 2: Giữa các số 243 và 1 ta viết thêm 4 số nữa để tạo thành cấp số nhân. Tính tổng của 4 số đó?

Câu 3: Cho 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216. Tìm công bội q của cấp số nhân?

Câu 4: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  biết u_i > 0. Tính công bội q?

Câu 5: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?

Câu 6: Cho cấp số nhân (u_n) có các số hạng khác không, tìm công bội biết: 

Câu 7: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  .Trên khoảng  có bao nhiêu số hạng của cấp số.

Câu 8: Cho dãy số (u_n) xác định bởi  . Chọn mệnh đề đúng:

Câu 9: Cho (u_n) là cấp số nhân thỏa mãn : u₂ = 4 và u₃ = 8. Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân ?

Câu 10: Cho cấp số nhân (u_n) thỏa mãn  . Tìm số hạng đầu tiên của cấp số nhân?