Bài tập tính đạo hàm bằng định nghĩa cực hay, có lời giải

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa đạo hàm của hàm số: Cho hàm số y= f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀∈(a;b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn:

Thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y= f( x) tại điểm x₀ và kí hiệu:

+ Quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa:

Bước 1: giả sử ∆ x là số gia của đối số x0. Tính ∆ y= f(x₀ + ∆x) – f(x₀) .

Bước 2: Lập tỉ số ∆y/∆x

Bước 3.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y= f( x)= x²- x, đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x0 là

A.x₀+1        B. x₀ – 2        C. x₀ - 2∆x        D. 2x₀ - 1

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Cho hàm số 

(I). f' (0)=1

(II) Hàm số không có đạo hàm tại x0= 0.

Mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).        B. Chỉ (II).        C. Cả hai đều sai.        D. Cả hai đều đúng.

Hướng dẫn giải

Gọi ∆x là số gia của đối số tại 0 sao cho ∆ x > 0 .

Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.

Chọn B.

Ví dụ 3.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4 . Tỉ số ∆y/∆x của hàm số f(x) = x2+ x theo x và là

A. 2x₀² ∆x+1        B. 2x₀- ∆x

C. 2x₀+ ∆x+1        D. 2x₀.∆x+(∆x)²+1

Hướng dẫn giải

Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x_o . Ta có:

∆ y=f( x₀+ ∆x)-f( x₀ )=( x₀+ ∆x)²+ x₀+ ∆x- x₀²- x₀

= x₀²+ 2x₀.∆x+( ∆x)²+ x₀+ ∆x- x₀²- x₀

= 2x₀.∆x+( ∆x)²+ ∆x

Ví dụ 5. Số gia của hàm số y= f( x) = 2x+ 8 ứng với số gia của đối số x tại x₀= 3 là

A. 3        B. 2∆x        C. -2∆x + 3        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Với số gia của đối số x tại x0 = 3. Ta có

∆ y=f( x₀+ ∆x)-f( x₀ )=2( x₀+ ∆x)+8-2x₀-8 = 2∆x

suy ra Số gia của hàm số tại x0 = 3 là 2∆x.

Chọn B

Ví dụ 6. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x₀ < 1 ?

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.

Chọn C.

Ví dụ 7. Cho hàm số y= f(x) liên tục tại x₀. Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại x₀ là

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ví dụ 8. Cho hàm số 

Hướng dẫn giải

Ví dụ 9. Cho hàm số 

Với giá trị nào của a; b thì hàm số có đạo hàm tại x= 1?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 10. Cho hàm số y= x³- 1. Tính ∆ y của hàm số theo x và ∆ x?

A. 3x².∆ x+ 3x. (∆x)²+( ∆x)³

B. x².∆ x+ x. (∆x)²+( ∆x)³

C. 3x².∆ x+ 3x.(∆x)²+( ∆x)³ +2

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Giả sử ∆ x là số gia của đối số.

+ Ta có; ∆y= f( x+∆x) - f( x) = (x+∆x)³ – 1- x³+1

= x³+ 3x².∆ x+ 3x. (∆x)²+( ∆x)³ – x³

= 3x².∆ x+ 3x. (∆x)²+( ∆x)³

Chọn A.

Ví dụ 11. Cho hàm số y= x²+ 2x- 3. Tính tỉ số ∆y/∆x theo x và ∆ x

A. 2x+ ∆x-2        B. 2x+ ∆x+2(∆)²

C. 2x- ∆x+2        D. 2x+ ∆x+2

Hướng dẫn giải

+ Gọi ∆x là số gia của đối số x.

+ Ta có: ∆ y= f(x+ ∆x) – f(x)= [(x+∆x)² +2(x+ ∆x)- 3] – [x²+ 2x -3]

= x²+ 2x. ∆x + (∆x)²+ 2x +2.∆x – 3 – x²- 2x + 3

= 2x. ∆x + ( ∆x)²+ 2.∆x

+ ∆y/∆x=2x+ ∆x+2

Chọn D.

Ví dụ 12. Số gia của hàm số y= f(x )= x³ + 1 ứng với x₀= 1 và ∆ x= 1 bằng bao nhiêu?

A. – 10        B . 7        C. - 1.        D. 0

Hướng dẫn giải

Ta có ∆y= f( x₀+ ∆x)-f(x₀ )=( x₀+ ∆x)³+1- x₀³-1

= 3.x₀².∆x+3x₀ ( ∆x)²+( ∆x)³

Với x₀ =1 và ∆ x=1 thì ∆ y=7.

Chọn B

Ví dụ 13. Cho hàm số y= 8x+ 10. Tính đạo hàm của hàm số tại x₀= -1.

A. 6        B. 10        C. 8        D. - 15

Hướng dẫn giải

+ Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0= -1.

∆ y= f( -1+ ∆x) – f( -1) = 8( - 1+∆x)+ 10 –[ 8.(- 1)+ 10]

= - 8+ 8∆x+ 10- 2 = 8.∆x

suy ra ∆y/∆x=8 nên

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho tại điểm x₀= -1 là 8.

Chọn C.

Ví dụ 14. Cho hàm số: 

A. 0        B. 2        C. 1       D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Xét hai câu sau:

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (2) đúng.        B. Chỉ có (1) đúng.       C. Cả hai đều đúng.        D. Cả hai đều sai.

Câu 2: Cho hàm số y= x²+2|x|-5. Xét hai câu sau:

(1). Hàm số trên có đạo hàm tại x= 0.

(2). Hàm số trên liên tục tại x= 0.

Trong hai câu trên:

A. Chỉ có (1) đúng.       B. Chỉ có (2) đúng.       C. Cả hai đều đúng.       D. Cả hai đều sai.

Câu 3: Tìm a để hàm số  có đạo hàm tại x= 1

A. – 1        B. 1        B. – 2        D. 2

Câu 4: Tính đạo hàm của hàm số  tại x₀= 1.

A. 0        B. 4        C. 5        D. Đáp án khác

Câu 5: Tính đạo hàm của hàm số  tại điểm x⁰= 0.

A. 2       B. 0       C. 3       D. đáp án khác

Câu 6: Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)= 2x³ +1 tại các điểm x= 2.

A. 12        B. 16        C. 24        D. 18

Câu 7: Tính đạo hàm của hàm số y= f(x)= √(x²+3) tại x= 1

A.1        B. 1/2        C. 2        D. 1/4

Câu 8: Tính đạo hàm của hàm số  khi x≠0 tại x = 0

A. 1/2        B.1        C. 2        D. 1/4

Câu 9: Tìm a; b để hàm số

có đạo hàm tại x= 1.

A. a= - 3; b= 7       B. a= 2; b=2       C. a= 1;b= 3       D. a= 4; b= 0

Câu 10: Cho hàm số  tính đạo hàm của hàm số tại x₀= 0

A. 1        B. 2       C. 3       D. 5

Câu 11: Cho hàm số y= f(x)= (2x²+ |x+1|)/(x-1). Tìm mệnh đề đúng?

A. Hàm số đã cho có đạo hàm tại x= -1.

B. Hàm số đã cho liên tục nhưng không có đạo hàm tại x= -1.

C. Hàm số đã cho không liên tục tại x= -1

D. Hàm số đã cho có đạo hàm tại x= -1 nhưng không liên tục tại điểm đó.

Câu 12: Số gia của hàm số y= - 3x²+ 8 ứng với x và là

A. -6x. ∆x -3(∆x)²        B. -6x. ∆x+ 3(∆x)²- 16

C. 6x. ∆x -3(∆x)² + 16        D. -6x - 3. ∆x

Câu 13: Xét ba mệnh đề sau:

(1) Nếu hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm x= x₀ thì hàm số liên tục tại điểm đó.

(2) Nếu hàm số y= f( x) liên tục tại điểm x= x₀ thì hàm số y= f(x) có đạo hàm tại điểm đó.

(3) Nếu y=f(x) gián đoạn tại x= x0 thì chắc chắn hàm số y=f(x) không có đạo hàm tại điểm đó.

Trong ba câu trên:

A. Có hai câu đúng và một câu sai.        B. Có một câu đúng và hai câu sai.

C. Cả ba đều đúng.        D. Cả ba đều sai.