Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay

A. Phương pháp giải

+) Sử dụng tính chất: d' là ảnh của d qua phép thì d' song song hoặc trùng với d

Nếu: d: Ax + By + C = 0; d'//d ⇒ d': Ax + By + C' = 0 (C' ≠ C)

+) Sử dụng biểu thức tọa độ

+) Chú ý: 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phép tịnh tiến theo vectơ  = (3;m). Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua phép tịnh tiến theo vectơ 

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho  = (1;-3) và đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến  .

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.

Lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc d, ta có 2x - 3y + 5 = 0 (*)

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Do d' = (d) nên d' song song hoặc trùng với d, vì vậy phương trình đường thẳng d' có dạng 2x - 3y + c = 0.(**)

Lấy điểm M(-1;1) ∈ d. Khi đó M' = (M) = (-1 + 1;1 - 3) = (0;-2).

Do M' ∈ d' ⇒ 2.0 - 3.(-2) + c = 0 ⇔ c = -6

Vậy ảnh của d là đường thẳng d': 2x - 3y - 6 = 0.

Cách 3. Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M,N thuộc d, tìm tọa độ các ảnh M', N' tương ứng của chúng qua . Khi đó d' đi qua hai điểm M' và N'.

Cụ thể: Lấy M(-1;1), N(2;3) thuộc d, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là M'(0;-2), N'(3;0). Do d' đi qua hai điểm M', N' nên có phương trình 

Ví dụ 3: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo  : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với  = (-2;-1)

Hướng dẫn giải:

* Cách 1: Gọi  (d) = d'. Khi đó d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0

Chọn A’(2;-1) ∈ d’. Khi đó:  (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d nên 8 + 0 + C = 0 ⇔ C = -8

Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0

* Cách 2: Chọn A’(2; -1) ∈ d’,  (A) = A' ⇒ A(4; 0) ∈ d và chọn B’(-1;1) ∈ d’,  (B) = B' ⇒ B(1;2) ∈ d

Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là:

⇔ 2x – 8 = -3y

⇔ 2x + 3y – 8 = 0

* Cách 3: Gọi M’(x’;y’) ∈ d’, (M) = M'

Ta có: M’ ∈ d’

⇔ 2x’ + 3y’ – 1 = 0

⇔ 2x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0

⇔ 2x + 3y – 8 = 0

⇔ M ∈ d: 2x + 3y – 8 = 0

Ví dụ 4: Tìm tọa độ vectơ  sao cho  (d) = d' với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0

Hướng dẫn giải:

d' là ảnh của d qua phép  thì d' song song hoặc trùng với d

Nhận thấy d//d’ nên với mỗi điểm A ∈ d; B ∈ d' ta có:

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A(2;-1) thành điểm A'(2018;2015) thì nó biến đường thẳng nào sau đây thành chính nó?

A. x + y - 1 = 0.

B. x - y - 100 = 0.

C. 2x + y - 4 = 0.

D. 2x - y - 1 = 0.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0. Để phép tịnh tiến theo vectơ  biến d thành chính nó thì  phải là vectơ nào trong các vectơ sau?

A.  = (2;1).

B.  = (2;-1).

C.  = (1;2).

D.  = (-1;2).

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và d': 2x - 3y - 5 = 0. Tìm tọa độ  có phương vuông góc với d để .

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng có phương trình d: 3x - 4y + 5 = 0 và d’: 3x - 4y = 0. Phép tịnh tiến theo vectơ  biến đường thẳng d thành đường thẳng d’. Khi đó, độ dài bé nhất của vectơ  bằng bao nhiêu?

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình y = -3x + 2. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ  thì đường thẳng Δ biến thành đường thẳng d có phương trình là:

A. y = - 3x + 1.

B. y = - 3x - 5.

C. y = - 3x + 9.

D. y = - 3x + 11.

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 5x - y + 1 = 0. Thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục hoành về phía trái 2 đơn vị, sau đó tiếp tục thực hiện phép tịnh tiến theo phương của trục tung về phía trên 3 đơn vị, đường thẳng Δ biến thành đường thẳng Δ' có phương trình là

A. 5x - y + 14 = 0.

B. 5x - y - 7 = 0.

C. 5x - y + 5 = 0.

D. 5x - y - 12 = 0.

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng Δ có phương trình 4x - y + 3 = 0. Ảnh của đường thẳng Δ qua phép tịnh tiến T theo vectơ  = (2;-1) có phương trình là:

A. 4x - y + 5 = 0.

B. 4x - y + 10 = 0.

C. 4x - y - 6 = 0.

D. x - 4y - 6 = 0.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng song song d và d' lần lượt có phương trình 2x - 3y - 1 = 0 và 2x - 3y + 5 = 0. Phép tịnh tiến nào sau đây không biến đường thẳng d thành đường thẳng d'?

A.  = (0;2).

B.  = (-3;0).

C.  = (3;4).

D.  = (-1;1).

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng: d: 2x - y + 4 = 0 và d': 2x - y -1 = 0. Tìm giá trị thực của tham số m để phép tịnh tiến  theo vectơ  = (m;-3) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’.

A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 3.

D. m = 4.

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy nếu phép tịnh tiến biến điểm A(2;-1) thành điểm A'(1;2) thì nó biến đường thẳng d có phương trình 2x - y + 1 = 0 thành đường thẳng d' có phương trình nào sau đây?

A. d': 2x - y = 0.

B. d': 2x - y + 1 = 0.

C. d': 2x - y + 6 = 0.

D. d': 2x - y - 1 = 0.