Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải
Với Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải Toán học lớp 11 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay.
Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải
A. Phương pháp giải
* Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng, ta xét A = un+1 − un
Nếu A là hằng số thì (un) là một cấp số cộng với công sai d = A.
Nếu A phụ thuộc vào n thì (un) không là cấp số cộng.
* Ngoài ra; để chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng ta có thể chỉ ra: tồn tại số nguyên dương k sao cho: uk+1 − uk ≠ uk − uk−1
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = 2n + 3. Chứng minh rằng dãy số (un) không phải là cấp số cộng .
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 2n+1 + 3
Xét hiệu: un+1 − un = (2n+1 + 3) − (2n + 1)= 2n+1 − 2n
=> (un+1 − un) không phải là hằng số; còn phụ thuộc vào n. Nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 2: Cho dãy số (un) xác định bởi 
. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Ta thấy: u1 + u3 ≠ 2u2
T => dãy số (un) đã cho không là cấp số cộng.
Ví dụ 3: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1= √(2 + un). Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
* Ta có: u2 = 2; u3 = 2; u4 = 2; u5 = 2...
Dự đoán: un = 2 ∀n ∈ N*.
* Ta chứng minh un = 2 bằng phương pháp quy nạp.
+ Với n = 1 ta có: u1 = 2 nên đúng với n = 1.
+ Giả sử đúng với n = k, tức là: uk = 2.
Ta chứng minh đúng với n= k + 1 hay uk+1 = 2.
Theo giả thiết ta có: uk+1 = √(2 + uk) = √(2+2) = 2
=> Đúng với n = k + 1, ta có đpcm.
Vậy với mọi n ta có: un = un+1 nên un+1 − un = 0.
=> Dãy số (un) là cấp số cộng với công sai d = 0.
Ví dụ 4: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
Ta có 
=> dãy số trên không phải cấp số cộng.
Ví dụ 5: Chứng minh dãy số (un) với un = 17n + 2 là cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 17(n + 1) + 2 = 17n + 19
=> Hiệu: un+1 – un = (17n + 19) − (17n + 2) = 17
Suy ra: (un) là cấp số cộng với công sai d = 17.
Ví dụ 6: Chứng minh dãy số (un) với un = 10 − 5n là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 10 − 5(n+1)= 5 − 5n.
Xét hiệu: un+1 − un = (5 − 5n) − (10 − 5n) = −5
=> (un) là một cấp số cộng với công sai d = −5.
Ví dụ 7: Cho dãy số (un) với 
. Chứng minh rằng (un) không là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 
Xét hiệu: 
=> (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên dãy số (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 8: Cho dãy số (un) với un = n2 + 2n + 2. Chứng minh (un) không là cấp số cộng
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = (n+1)2 + 2(n+1) + 2 = n2 + 4n + 5
Xét hiệu: un+1 − un = (n2 + 4n + 5) − (n2 + 2n + 2) = 2n + 3
=> Hiệu (un+1 − un) còn phụ thuộc vào n nên (un) không là cấp số cộng.
Ví dụ 9: Cho dãy số (un) với un = 10. Chứng minh (un) là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Ta có: un+1 = 10
Xét hiệu: un+1 − un = 10 − 10 = 0
=> (un) là cấp số cộng với công sai d= 0
Ví dụ 10: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un)không là cấp số cộng ?
Hướng dẫn giải:
Ta có 
=> u3 − u2 ≠ u2 − u1 nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho dãy số (un) với un = 3. (−4)n − 8. Chứng minh rằng dãy số (un) không phải là cấp số cộng .
Câu 2: Cho dãy số (un) với 
. Chứng minh rằng (un) không là cấp số cộng.
Câu 3: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng.
Câu 4: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un) không là cấp số cộng.
Câu 5: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 2 và un+1 = √(3un − 2). Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng.
Câu 6: Cho dãy số (un) với un = −2n2 + n + 1. Chứng minh (un) không là cấp số cộng
Câu 7: Cho dãy số (un) với un = −2n2 + n + 1. Chứng minh (un) không là cấp số cộng
Câu 8: Cho dãy số (un) có 
. Chứng minh dãy số (un)không là cấp số cộng ?
Câu 9: Chứng minh dãy số (un) với un = −13n + 27 là cấp số cộng
Câu 10: Chứng minh dãy số (un) với un = −3 − 8n là cấp số cộng.
