Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Để tính được khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (α) thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm A trên (α)

Cho trước SA ⊥ Δ; trong đó S ∈ (α) và Δ ⊂ (α)

Bước 1: Dựng AK ⊥ Δ ⇒ Δ ⊥ (SAK) ⇒(α) ⊥ (SAK) và (α) ∩ (SAK) = SK

Bước 2: Dựng AP ⊥ SK ⇒ AP ⊥ (α) ⇒ d(A, (α)) = AP

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA; AB; BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = a√3, AB = a√3 . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn D

Kẻ AH ⊥ SB

Ta có: 

Lại có: AH ⊥ SB nên AH ⊥ (SBC)

⇒ d(A; (SBC)) = AH

Trong tam giác vuông SAB ta có:

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABC đến một mặt bên:

Hướng dẫn giải

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều)

Lại có: SA = SB = SC (vì S.ABC là hình chóp đều)

⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√3

+ Gọi M là trung điểm của BC

Kẻ OH ⊥ SM, ta có

nên suy ra d(O; (SBC)) = OH.

Ta có: OM = (1/3).AM = (a√3)/3

Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Hướng dẫn giải

Chọn C

Kẻ AH ⊥ SD

Ta có:  nên CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH     (1)

Lại có; AH vuông góc SD (2)

Từ (1); (2) ⇒ AH ⊥ (SCD) và d(A, (SCD)) = AH

Trong tam giác vuông SAD ta có:

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên tia Ax vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S sao cho SA = a . Khoảng cách từ A đến (SBC) bằng

Hướng dẫn giải

- Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vuông góc của A trên SM

- Ta có BC ⊥ AM ( trong tam giác đều đường trung tuyến đồng thời là đường cao). Và BC ⊥ SA ( vì SA vuông góc với (ABC)). Nên BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ AH

Mà AH ⊥ SM, do đó AH ⊥ (SBC)

Chọn đáp án C

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ A đến (SCD) bằng:

Hướng dẫn giải

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong ( SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Chọn đáp án C

Ví dụ 6: Hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến (ABC) bằng :

A. 2a                 B. a√3                  C. a                 D. a√5

Hướng dẫn giải

+ Gọi O là trọng tâm tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

+ Ta có: SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó SO ⊥ (ABC)

Chọn đáp án C

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là hình thoi tâm O, cạnh a và góc ∠BAD = 120°, đường cao SO = a. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC).

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ∠ABC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, ∠ASC = 90°. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) tính theo a bằng

Câu 3: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = a. Mặt bên chứa BC của hình chóp vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng đáy (ABC) .

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng b cạnh đáy bằng d, với d < b√3. Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định bên dưới.

Câu 5: Cho hai tam giác ABC và ABD nằm trong hai mặt phẳng hợp với nhau một góc 60°; tam giác ABC cân tại C, tam giác ABD cân ở D. Đường cao DM của tam giác ABD bằng 12 cm. Khoảng cách từ D đến (ABC) bằng

A. 3√3 cm              B. 6√3 cm              C. 6 cm              D. 6√2 cm

Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Khoảng cách từ A đến (B’CD’) bằng

Câu 7: Cho hình lập phương ABCD. A₁B₁C₁D₁ cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Khoảng cách từ A₁ đến mặt phẳng (C₁D₁M) bằng bao nhiêu?

Câu 8: Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng 3a cạnh bên bằng 2a. Khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A. 4a              B. 3a              C. a              D. 2a

Câu 9: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Khoảng cách từ A đến (BCD) bằng:

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) là:

Câu 11: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA = 3 HD. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Biết rằng SA = 2√3.a và đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30°. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng

Câu 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60°. Khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SAC) là

Câu 13: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng a√2. Tính khoảng cách từ tâm O của đáy ABCD đến một mặt bên:

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a; AC = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 30°. Gọi M là một điểm trên cạnh AB sao cho BM = 3MA. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCM)?