Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc

*Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x₀; f(x₀) ).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là:

y–y₀=f' (x₀).(x–x₀)

A. Phương pháp giải

1.- Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k.

- Giả sử M(x₀ ; y₀) là tiếp điểm. Khi đó x₀ thỏa mãn: f’(x₀)= k (*) .

- Giải (*) tìm x₀. Suy ra y₀= f(x₀). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= k(x- x₀) + y₀

2. Cho đường thẳng d : y= k_dx + b

+) Nếu ∆ // d thì k∆ = k_d

+) Nếu ∆ vuông góc với d thì : k∆. k_d = -1 ⇔ k∆ = (- 1)/k_d

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y=x³-3x²+2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng

A.-3       B.3       C.4       D.0

Hướng dẫn giải

Đạo hàm:y'=3x²-6x=3(x-1)² -3 ≥-3với mọi x.

Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng - 3.

Chọn A.

Ví dụ 2:Cho hàm số y= 2x/x+1. Có mấy điểm M thuộc C, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ tại A; B và tam giác 0AB có diện tích bằng 1/4

A: 0        B: 1        C: 2        D: 3

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Cho đồ thị (C): y= (( 3m+1)x-m)/(x+m).Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox song song với đường thẳng d: y=-x-5.

A. (- 1)/6; (- 1)/2        B: - 1/4        C: -1/2 ; 1        D: Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=1/3x³ -m/2x²+1/3 (m là tham số).

Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0

A: m=1        B: m=2        C: m=3        D: m=4

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5: Cho hàm số y= x³+ 3x²- 9x+ 5 có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

A: y=-2x+4        B: x+y+12=0        C: 12x+y-4=0        D: x-12y+4=0

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm : y’= 3x²+ 6x- 9

Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f' (x₀ )= 3.x₀²+6x₀-9

Ta có: 3.x₀²+6x₀-9=3( x₀²+2x₀+1)-12=3(x₀+1)²-12 ≥ -12 ∀x₀

Vậy min f' (x₀ )=-12 tại x₀= -1 ⇒ y₀= 16

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:y= -12(x+1)+16 hay y=-12x+4

Chọn C

Ví dụ 6. Cho hàm số y= x³+ 3mx²+ (m+ 1)x+ 1 ( 1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x=-1 đi qua điểm A(1;2).

A: 1        B: -1        C: 3        D: 5/8

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y’= 3x²+ 6mx + m+ 1

Với x₀ = - 1 ⇒ y₀= 2m- 1 và y’( -1) = - 5m+ 4.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;2m-1):

y=(-5m+4)(x+1)+2m-1 (d).

Ta có điểm A( 1; 2) thuộc đường thẳng d nên:

2= ( - 5m+ 4).(1+1) +2m- 1 ⇔ 2= - 10m+ 8+ 2m- 1

⇔ - 8m+ 5= 0 ⇔ m= 5/8.

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho hàm số y= -x³- 3x²+ 9x – 5 (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C) hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.

A: y=8x-3        B: y=6x-4        C: y=10x-2        D: y=12x-4

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y’= - 3x²- 6x+ 9

Gọi x₀ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có y' (x₀ )= -3x₀²-6x₀+9

Từ đó suy ra max y' (x₀)=12 tại x₀= - 1.

Với x₀= -1 ⇒ y₀= - 16 , phương trình tiếp tuyến cần tìm:y=12x-4

Chọn D

Ví dụ 8. Cho hàm số y=x³-2x²+8x+5 có đồ thị là (C). Khẳng định nào sau đây đúng nhất ?

A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

C. Hàm số đi qua điểm M( 1 ;17)

D. Cả A, B, C đều sai

Hướng dẫn giải

Ta có y'(x)=3x²-4x+8

Xét phương án A:

Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị vuông góc với nhau.

Gọi x₁; x₂ tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó.

Gọi k₁ ; k₂ lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên (C) có hoành độ x₁ ; x₂ .

Khi đó k₁,k₂=-1⇒y' (x₁ ).y' (x₂ )=-1

⇒(3x₁²-4x₁+8)(3x₂²-4x₂+8)=-1

Tam thức f(t)=3t²-4t+8 có nên f(t)> 0∀t∈R

⇒ ( 1) không thể xảy ra.

Vậy, giả thiết phản chứng là sai. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho hàm số: y= 2x+2/x-1 có đồ thị ( C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1.

A. y= -x- 2; y= -x+ 7.        B. y= -x- 5; y= -x+ 6.

C. y= -x- 1; y= -x+ 4.        D. y= -x- 1; y= -x+ 7.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 10: Cho hàm số y= (2x-1)/(x-1) có đồ thị ( C) . Gọi I(1;2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM?

A. M(3;2)        B. (0;1)        C. (2;3)        D. Cả B và C đúng

Hướng dẫn giải

Ví dụ 11 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :y=-x⁴-x²+6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:y=1/6x-1 .

A.y= 6x+ 1        B. y= - 6x+ 6        C.y= -6x+ 10        D. y= 6x+ 12

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định D=R.

Đạo hàm của hàm số: y’= - 4x³ – 2x

Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và ∆ vuông góc với đường thẳng d : y=1/6x-1 .

⇒ đường thẳng ∆ có hệ số góc : k= -6.

Cách 1: Gọi M(x₀ ; y₀) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị (C) của hàm số .

Khi đó, ta có phương trình: y'(x₀)=-6 ⇔-4x₀³-2x₀=-6

⇔(x₀-1)(2x₀²+2x₀+3)=0(*).

Vì 2x₀²+2x₀+3 > 0,∀x₀∈R nên phương trình ( *) tương đường x₀ =1

⇒ y₀= y(1)= 4 nên M( 1 ; 4)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-6(x-1)+4=-6x+10.

Cách 2: Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=-6x+m ( **)

Do ∆ tiếp xúc (C) tại điểm M(x₀ ; y₀) khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :

Thay vào (**) ta có phương trình tiếp tuyến là: y= - 6x+ 10

Chọn C.

Ví dụ 12. Cho hàm số y=1/3 x³-x+2/3 có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng d: y=-1/3 x+2/3.

A. ( 1; -2) và ( -2; 0)        B. ( - 2; 0) và ( 2; 4/3 )

C. ( -2; 5) và ( 1;0)        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định D= R.

Ta có đạo hàm: y'=x²-1

GọiM(x₀;y₀)∈(C) ⇔y₀=1/3 x₀³-x₀+2/3,

Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'(x₀)=x₀²-1

Đường thẳng d: có hệ số góc k₂=-1/3

Ví dụ 13. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): y= x³- 3x²+ 2, biết d cắt các trục Ox; Oy lần lượt tại A; B thỏa mãn OB= 9OA.

A. y= 9x+ 5 và y= 9x- 25        B. y= 9x+ 7 và y= 9x- 25

C. y= - 9x+ 1 và y= 9x + 7        D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi M(x₀; y₀) là toạ độ tiếp điểm

Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 3x²- 6x

Theo bài toán, đường thẳng d ≡AB.

Ví dụ 14: Cho hàm số y=2x⁴-4x²-1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x- 48y + 1= 0..

Hướng dẫn giải

Ta có đạo hàm: y'=8x³-8x.

Gọi M(x₀.y₀ )Tiếp tuyến tại M có phương trình:.

y=(8x₀³-8x₀)(x-x₀)+2x₀⁴-4x₀²-1..

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-48y+1=0 hay y= 1/48 x+ 1/48.

Nên ta có: y'(x₀).1/48=-1⇔y'(x₀)=-48.

8x₀³-8x₀+48=0 ⇒x₀=-2 ⇒y₀=15..

Phương trình Δ:y=-48(x+2)+15=-48x-81.

Chọn A.

Ví dụ 15: Tìm m để đồ thị hàm số y=1/3 mx³+(m-1)x²+(2-3m)x+1 tồn tại đúng điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x+ 2y – 3= 0.

Hướng dẫn giải

Hàm số đã cho xác định trên R.

Ta có: y'=mx²+2(m-1)x+2-3m.

Ví dụ 16. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y=1/3x³ +m/2x^2+1/3 (m là tham số)

Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0

A: m=1        B: m=2        C: m=3        D: m=4

Hướng dẫn giải

Ví dụ 17. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=2x/(x-1) nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ):9x-2y+1=0

Hướng dẫn giải

Ví dụ 18: Cho hàm số y=x⁴/4+x²/2+2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) song song với đường thẳng d: y= 2x- 2

Hướng dẫn giải

Đạo hàm y’= x³+ x

Đường thẳng d có hệ số góc k= 2.

Do tiếp tuyến ∆ của (C) song song với đường thẳng d:y= 2x-2 nên hệ số góc của đường thẳng ∆ là k∆= 2

⇒ x³+ x= 2 ⇒ x= 1

Tại x= 1 ta có y= 11/4;y' (1)=2

Phương trình tiếp tuyến ∆: y=2(x-1)+11/4=2x+3/4

Chọn A

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đồ thị hàm số ( C); y= (2x+2)/(x-1). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân

Câu 2: Cho hàm số y=3x-2/x-2 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số biết d tạo với trục hoành một góc 

Câu 3: Cho đường cong(C):y=(3x+1)/(1-x). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x-4y-21=0.

A: y= -x-1/4        B: 2y+4x-1=0        C: x-4y-5=0        D: Đáp án khác

Câu 4: Cho hàm số y=f(x)=(x²-x+2)/(x-1)(C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k=1.

A: y+x-6=0        B: x-y+6=0        C: -x+y+6=0        D:không có đường thẳng nào

Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=2x/(x-1) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): x+ 2y = 0

Câu 6: Gọi (C) là đồ thị của hàm số x³/-x²+2x+1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y=-x/5+2

Câu 7: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=x³/3-x²+2x+1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB vuông cân (O là gốc tọa độ ).

A. y = x +1/3 .        B. y = x + 4/3.        C. y = x + 4/13.        D. y = x - 4/3.

Câu 8: Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ( C) : y=x³-2x²+(m-1)x+2mvuông góc với đường thẳng y= - x

Câu 9: Tìm m để đồ thị : y=1/3 mx³+(m-1)x²+(3m-4)x+1 có điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x- y+ 2013= 0.

Câu 10: Biết rằng trên đồ thị (C): y=x³-(m+1)x²+(4m+2)x+1 tồn tại đúng 1 điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: x+ 10y+ 2013= 0.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm đó

A. y= - 3x+ 4        B. y= 6x- 9

C. y= 10x – 9        D. y= - 8x+ 12

Câu 11: Cho hàm số y= x³- 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với trục Oy.

A. y= 2;y= -1       B, y= 3; y= - 1       C. y= 3;y= -2       D. x= 3; x= - 1

Câu 12: Cho hàm số: y=2x+2/x-1 có đồ thị ( C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y= - 4x+ 1.

Câu 13: Cho hàm số: y=2x=2/x-1 có đồ thị ( C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.

A. y= -x- 1; y= -x+ 6.        B. y= -x- 1 ;y = -x+ 7

C. y= -x+ 2; y= -x+ 1        D. y= -x+ 1; y= -x+ 7

Câu 14: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=2x/(x-1),biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng -2

Câu 15: Cho hàm số y=x³-2x²+(m-1)x+2m có đồ thị là (C). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= 1 song song với đường thẳng d: y= 3x+ 10.

A. m= 2       B. m= 4       C. m =0       D.Không tồn tại m

Câu 16: Cho hàm số y=((3m+1)x-m²+m)/(x+m)có đồ thị là ( C); .Với giá trị nào của m thì tại giao điểm đồ thị với trục hoành, tiếp tuyến của đồ thị sẽ song song với đường thẳng d: x – y- 10 = 0.

Câu 17: Cho hàm số y=x³-2x²+2x" " có đồ thị (C). Gọi x₁; x₂ là hoành độ các điểm M; N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y=-x+2017. Khi đó x₁+ x₂ bằng: