Cách tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song

A. Phương pháp giải

Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với 2 đường thẳng đó:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Giao tuyến của mp(SAB) và mp(IJG) là:

A. SC

B. Đường thẳng qua S và song song với AB

C. Đường thẳng qua G và song song với CD

D. Đường thẳng qua G và cắt BC.

Lời giải

   + Xét hình thang ABCD có: I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC

⇒ IJ là đường trunh bình của hình thang

⇒ IJ // AB // CD

Ta có: 

⇒ (GIJ) ∩ (SAB) = Gx // IJ // AB

Chọn C

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của CD và AH. Tìm giao tuyến của (SMO) và (SCD)

A. Qua A và song song HC

B. Qua H và song song MO

C. Qua S và song song MO

D. Qua O và song song HC

Lời giải

   + Xét mp (ABCD) có M và O lần lượt là trung điểm của AH và AC

⇒ MO là đường trung bình của tam giác ACH.

⇒ MO // HC

   + Xét giao tuyến của hai mp (SMO) và (SHC) có:

Chọn C

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi H là điểm bất kì trong mp (BCD); giao điểm của BH và CD là K. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho: BM/MC = BH/HK. Tìm giao tuyến của 2 mp (MHC) và (AKC)?

A. Qua A và song song MH

B. Qua C và song song HK

C. Qua C và song song MK

D. Qua C và song song MH

Lời giải

   + Xét tam giác ABK có: BM/MC = BH/HK

⇒ MH // AK (định lí Ta-let đảo)

   + Xét giao tuyến của hai mp(MHC) và (AKC) có:

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MCD) và (SAB) với M là một điểm bất kì thuộc cạnh SA.

A. Qua M và song song với AD

B. Qua M và song song với AB

C. Qua M và song song với AC

D. Qua M và song song với BD

Lời giải

Ta có: 

⇒ (SAB) ∩ (SCD) = yy', với yy' // AB // CD và M ∈ yy'

Chọn B

Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và mp(AND). Gọi I là giao điểm của AM và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?

A. Hình bình hành

B. Hình chữ nhật

C. Hình vuông

D. Hình thoi

Lời giải

   + Gọi E là giao điềm của AD và BC; P là giao điểm của NE và SC

Suy ra: P = SC ∩ (AND)

   + Ta có

S là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Gọi I là giao điểm của DP và AN nên I là điểm chugn thứ hai của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Suy ra: SI = (SAB) ∩ (SCD)

Mà AB // CD nên SI // AB // CD

   + Vì MN là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình của tam giác SAI nên suy ra: SI = AB (= 2 MN)

   + Tứ giác SABI có 2 cạnh đối SI và AB song song và bằng nhau nên SABI là hình bình hành.

Chọn A

Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của mp (SAD) và (SBC). Tìm mệnh đề đúng

A. d qua S và song song với BC

B. d qua S và song song với DC

C. d qua S và song song với AB

D. d qua S và song song với BD

Lời giải

Ta có: 

⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx // AD // BC

Khi đó; đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng Sx.

Chọn A.

Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng:

A. Qua I và song song với AB

B. Qua J và song song với BD

C. Qua G và song song với CD

D. Qua G và song song với BC

Lời giải

Ta có: 

⇒ (GIJ) ∩ (BCD) = Gx // IJ // CD

Chọn C

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 2SM = MA; trên đoạn SB lấy điểm N sao cho 2SN = NB. Điểm P nằm trên cạnh SC không trùng với S. Tìm giao tuyến của hai mp(MNP) và mp(SCD)?

A. Qua A và song song AB

B. Qua N và song song CD.

C. Qua P và song song CD.

D. Đáp án khác

Lời giải

   + Ta có: 2SM = MA và 2SN = NB nên: 

⇒ MN // AB ( định lí Ta-let đảo)   (1)

   + Lại có ABCD là hình thoi nên AB // CD     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN // CD.

   + Giao tuyến của mp(MNP) và (SCD):

Chọn C

Ví dụ 9: Cho tứ diện ABCD và ba điểm P; Q: R lần lượt trên cạnh AB; CD và BC. Biết rằng PR // AC. Xác định giao điểm S của mp(PQR) và cạnh AD.

A. Là giao điểm của đường thẳng Qx và AD với Qx // AC

B. Là giao điểm của đường thẳng Px và AD với Px // BD

C. Là giao điểm của đường thẳng Rx và AD với Rx // BD

D. Là giao điểm của đường thẳng Qx và AD với Qx // BD

Lời giải

   + Chọn mặt phẳng phụ chứa AD là mp(ACD).

   + Xét giao tuyến của (ACD) và mp(PQR):

⇒ (PQR) ∩ (ACD) = Qx // PR // AC

   + Trong mp (ACD); Qx cắt AD tại S ta được điểm S cần tìm.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng

A. qua I và song song với AB

B. qua J và song song với BD

C. qua G và song song với CD

D. qua G và song song với BC

Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Chọn mệnh đề sai

A. (IBC) ∩ (SAD) = Ix // AB // CD

B. Giao tuyến của (IBC) và (SAD) là đường trung bình của tam giác SAD.

C. A và B cùng đúng hoặc cùng sai.

D. A đúng, B sai

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SA. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC; AD. Chọn mệnh đề sai?

A. Giao tuyến của mp(P) và mp(SAD) là đường thẳng song song với AD

B. Giao tuyến của mp(P) và mp(ABC) là đường thẳng song song với AD.

C. Giao tuyến của mp(P) và mp(SCD) là đường thẳng song song với SC.

D. Giao tuyến của mp(P) và mp(SAB) là đường thẳng song song với SC.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng SD. Chọn mệnh đề sai?

A. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB

B. Giao tuyến của (SCD) và (MAB) là đường thẳng qua M và song song với CD.

D. Giao tuyến của (SCD) và (MAB) song song với giao tuyến của (SAB) và (SCD)

D. A và B đúng ; C sai.

Câu 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD

B. là đường thẳng đi qua S

C. là điểm S

D. là mặt phẳng (SAD)

Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi G và J lần lượt là trọng tâm tam giác BCD; tam giác ACD. Gọi K là trung điểm của CD. Tìm giao tuyến của hai mp(ABD) và mp(GJD)

A. Qua D và song song GJ

B. Qua A và song song AB

C. Qua D và song song GA

D. Qua J và song song AB

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây SAI?

A. IO // SA

B. 4 điểm I, O, S và A đồng phẳng

C. giao tuyến của mp (SAB) và mp(IBD) là Bx trong đó Bx // SA // IO

D. (IBD) ∩ (SAC) = ID

Câu 8: Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng (α) qua và M song song với AB và CD. Tìm giao tuyến của mp (α) và (ABD)

A. Px // MN      B. Px // AD       C. Px // AC       D. Px // BC

Câu 9: Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. AB       B. AC      C. BC      D. SA