Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

TH1: Dựng đường thẳng AH // (α) .

Lúc đó: d(A, (α)) = d(H, (α))

TH2: Dựng đường thẳng AH, AH ∩ (α) = {I} .

Lúc đó: 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a√3, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN) tính theo a bằng

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

DO hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ (ABC)

Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mp (ABC) là 60° nên ∠SCG = 60°

Xét tam giác CAM có CM = CA.sin60° = (a√3)/2 và CG = 2/3.CM = (a√3)/3

Trong tam giác SGC vuông tại G suy ra SG = GC.tanC = GC√3 = ((a√3)/3).√3 = a

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE.

Khi đó d(C, (SMN)) = 3 d(G; (SMN))= 3 GF

Ta có :

Trong tam giác SGE vuông tại H suy ra

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ∠BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α sao cho tanα = 3/√7. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

Gọi H là hình chiếu của J lên AB

Gọi Z là hình chiếu của G lên AB

Gọi I là hình chiếu của G lên SZ.

+ Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có:

+ áp dụng hệ quả định lí Ta-let cho tam giác BJH

+ Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:

Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)

Hướng dẫn giải

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều).

Lại có: SA = SB = SC ( vì S.ABC là hình chóp đều)

⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√3

+ Gọi M là trung điểm của BC.

Kẻ OH ⊥ SM, ta có

Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

AO cắt (SBC) tại M và AM = 3OM nên d(A, (SBC))= 3.d(O; (SBC)) = 3OH.

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a . Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng:

Hướng dẫn giải

Ta có; AB // CD nên d(B, (SCD))= d(A; (SCD)).

Ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) :

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong (SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H .

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Chọn đáp án C

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; DC . Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) bằng

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60°. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)?

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB = 2a√3; BC = 2a. Biết chân đường cao M hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60°. Khoảng cách từ D đến (SBC) tính theo a bằng

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của AO góc giữa (SCD) và (ABCD) là 60°. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD) tính theo a bằng

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM biết SH vuông góc (ABCD), SH = a√3. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng

Câu 7: Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng